Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Анализ простейших рассуждений.






1.Если многоугольник правильный(φ), то вокруг него можно описать окружность(ψ).

2.Данный многоугольник правильный(φ). {1 и 2 это посылки}

3.Вокруг данного многоугольника можно описать окружность.

правила отделения или правило заключения ПО

1. φ → ψ Посылки

2. φ – И Вывод

3. ψ – φ Заключение

 

Рассмотрим 2 предложение (1) φ → ψ, далее утверждена посылка φ и получаем заключение ψ.

Переход от исходных данных к заключению называется выводом.

 

1) Правило отделения: (ПО)

Р1→ Р2 < => Р2→ Р1 1 2

φ, φ → ψ (ПО)

ψ

 

2) Правило расширенной контрапозиции: (ПРК)

φ → ψ

ψ – Л

φ – Л

Пример:

если a = b, то ∟ α = ∟ β, т.е. p→ q

p q

если ∟ α ≠ ∟ β, то a ≠ b, т.е. q ≠ p

эти посылки, утверждения равносильны.

 

3) Правило силлогизма: (ПС)

p→ q φ 1

q→ r φ 2

p→ r φ

 

учитывая отношение равносильности (p→ q) & (q→ r) < => p→ r

φ 1 φ 2 φ

φ – сложное заключение.

& Пусть 1 φ 1 – И

2 φ 2 – И Посылки

φ 1& φ 2

φ 1

φ 2 (ВК)

φ 1& φ 2

Пример:

пусть φ 1 ↔ (a< x), φ 2 ↔ (x< b),

|=> φ 1& φ 2 = (a< x)& (x< b) = a< x< b,

 

4) УК (удаление конъюнкции) (УК)

φ 1& φ 2

φ 1φ 2

Правило УК позволяет от конъюнкции перейти к отдельным утверждениям. Если имеется n посылок, то можно пойти & (i=1, n)φ i и по правилу УК из & (i=1, n)φ i можно получить отдельные значения φ i.


v Пусть нам задана функция знаем, что она истина, и знаем, что от дизъюнкции φ 1 с И или Л от этого смысл исходного утверждения не изменится.

φ 1

φ 12 – введение дизъюнкции (ВД)

Пример:

φ 1(a> 0)

(a> 0)V(a=0), т.е. φ 1 V φ 2

 
 


a≥ 0.

φ 1

φ 123V… Vφ n (ВД)


добавить

φ 12

φ 2 удаление дизъюнкции (УД)

φ 1

 

Для удаления дизъюнкции, хотя бы одна посылка должна быть ложной.

Пример:

a≥ 0 φ 12

a≠ 0 – отрицательное φ 2

a> 0 φ 1

 
 


~ p~q < => (p→ q) & (p← q), т.е. φ 1& φ 2

φ 1 φ 2

(φ ← ψ)

(φ ~ψ) – введение эквиваленции (ВЭ)

Пример:

рассмотрим ∆ из ПВК

1. если a = b, то α = β

φ ψ

2. если α = β, то a = b

∆ равнобедренный φ ~ψ

φ ~ψ

φ → ψ

ψ → φ – удаление эквивалентности (УЭ)

 

в доказательствах часто применяются методы индукции, дедукции.

Дедукция – этот метод позволяет осуществить переход от общего к частному, индукция – наоборот.

В дедукции рассуждение имеет место теорема дедукции.

Пусть имеется n посылок φ 1, φ 2, φ 3, … φ n из них выводится некоторое утверждение φ. Тот факт, что φ 1, φ 2 … φ n истина, то φ – истина.

Теорема дедукции.

φ 1, φ 2, … φ n |– φ

Если утверждение φ можно получить из n посылок, то

φ 1, φ 2, … φ n–1 |– (φ n→ φ)

Доказательство по методу от противного.

Предположим, что после союза то утверждение |– (φ n→ φ) – ложное, т.е.

φ 1, φ 2, … φ n–1 |– (φ n φ) => φ n→ φ < => Л, но это возможно значет это не удовлетворяет условию φ 1, φ 2, … φ n |– φ

При применении теоремы дедукции разрешается проверить посылку.

После 1 применения теоремы дедукции условие будет выглядеть следующим образом:

φ 1, φ 2, … φ n–2 |– [φ n-1→ (φ n→ φ)]

После n применения теоремы дедукции условие будет иметь следующий вид:

φ 1 |– {φ 2→ [φ 3→ …→ (φ n→ φ))))))...]

Пример:

1. если 2 плоскости параллельны, то они не имеют общей точки.

       
   
 
 


p r

2. если 2 плоскости пересекаются, то они имеют общую прямую.

       
   
 


q s

3. но 2 плоскости параллельны или пересекаются.

       
   
 


p q

 

Вывод: две плоскости не имеют общей точки или имеют общую прямую.

       
   
 
 


r s

1. p→ r φ 1

2. q→ s φ 2

3. pVq φ 3

r V s φ

 

Если мы на основании посылок докажем их истинность, то докажем их.

p→ r q→ s pVq r V s (1)

               
 
     
     
 
 


φ 1 φ 2 φ 3 φ 4

с использованием вспомогательной формулы равносильности rvs < => r→ s мы можем подставить в (1) получим.

p→ r q→ s pVq |– (r→ s) (2)

                   
       
     
 
 


φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 φ `

по теореме дедукции

p→ r q→ s pVq r |– s

                   
   
     
     
 
 
 


φ 1 φ 2 φ 3 φ 4 φ `

 


доказательство:

1 p→ r φ 1

2 q→ s φ 2

3 pVq φ 3 ← посылки

4 r φ 4

5 p {ПРК: 1, 4}

6 q {УД: 3, 5}

7 s {ПО: 2, 6}

 

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.