Лекция № 4

1.Предмет и задачи статики.

Статика-это раздел теоретической механики, который изучает преобразование системы сил и условия равновесия под действием сил.

Статика решает две основные задачи:

Сложение или разложение сил и приведение системы сил к простейшему виду.

Отыскание условий равновесия системы сил.

К основным понятиям статики относят:

1. Материальная точка — это физическое тело определенной массы, размерами которого можно пренебречь в данных условиях.

2. Система материальных точек — это такая совокупность точек, в которой положение и движение каждой определенной точки зависит от положения и движения других точек системы.

3. Абсолютно твердое тело — это тело, в котором расстояния между любыми двумя его точками остается неизменным.

В статике основным объектом исследования являются силы. Сила — это мера механического взаимодействия между телами, которое определяет интенсивность и направление этого воздействия.

Сила- величина векторная и характеризуется модулем, направлением и точкой приложения или линией действия. В системе СИ измеряется в ньютонах(Н). Когда на тело действует несколько сил, то их совокупность называется системой сил.

Эти системы, в зависимости от их ориентации, разделяются на следующие:

Параллельные силы — линии действия параллельны.

Сходящиеся — линии действия которых пересекаются в одной точке.

Произвольная система сил — силы могут занимать любое положение в пространстве.

Силы разделяются также на активные и реакции связей, сосредоточенные и распределенные, внутренние и внешние, плоские и пространственные.

Сосредоточенной силой называется сила, прилагаемая к объекту в одной точке. Распределенными силами называют силы, которые действуют на все точки поверхности или объема тела. При решении задач распределенные силы заменяют сосредоточенными согласно правилу:

[H].

Две системы силы называют эквивалентными, если одну систему сил можно заменить другой, не изменяя покоя или движения тела:

Когда система сил эквивалентна одной силе, то эта сила имеет название равнодействующей.

Уравновешенной называется такая система сил, добавление которой к свободному твердому телу или её отбрасывание не изменяют состояния покоя или движения этого тела. Уравновешенная система сил эквивалентна нулю.

2. Аксиомы статики.

В основе статики лежат её аксиомы. Аксиомой называется положение, не требующее доказательств, исходной для других положений и теорем.

Аксиома 1. Две силы, которые действуют на твердое тело, уравновешиваются только тогда, когда они равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль одной прямой.

Аксиома 2. Действие данной системы сил на твердое тело не изменяется, если к ней прибавить или от неё отбросить систему сил эквивалентную нулю.

Следствие: не нарушая состояния тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия.

Аксиома 3. Равнодействующая двух сил, которые пересекаются, равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. Тогда:

Аксиома 4. Силы, с которыми действуют друг на друга тела, всегда равны по модулю и направлены в противоположные вдоль одной прямой стороны.

Силы взаимодействия двух тел не составляют систему уравновешивающих сил, т. к они приложены к разным телам.

Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не нарушается, если жестко связать его точки и считать тело абсолютно твердым (используется для тел, которые нельзя считать твердыми).

Аксиома 6. Механическое состояние твердого тела не нарушается, если отбросить связи и заменить их действие реакциями.

Аксиома 7. Равновесие твердого тела не нарушается, если наложит на него новые связи.

3. Основные типы связей.

Связь — это ограничение, наложенное на движение точек материальной системы. Отбрасывая связь, её действие заменяют силой, которая называется реакцией связи, т. е противодействием связи на действие данного тела. Роль связей на практике выполняют разные тела и конструкции, основными из которых есть:

1.Идеально гладкая поверхность. 2.Ребро поверхности.

3.Подвижный шарнир(каток) 4.Невесомая нить(трос, шнур, цепь, ремень)

5.Цилиндрический шарнир 6.Идеальный стержень

(подшипник)

7.Сферический шарнир или 8.Жесткая заделка

Поднятник

9.Подшипник 10.Жесткая заделка по двум степеням свободы

4. Силы и системы сил.

Классификацию сил мы рассмотрели выше. Для системы сил можно предложить следующую классификацию:

Пространственной системой называют систему сил, линии действия которых в общем случае не пересекаются. Плоская система — линии действия расположены в одной плоскости.

5.Система сходящихся сил (ССС)

Такой системой называется совокупность сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Система сходящихся сил является наиболее простой системой сил в пространстве и на плоскости с наиболее простыми условиями равновесия.

Если в результате построения силового многоугольника окажется, что конец вектора последней n-ой силы совпадает с началом вектора 1-ой силы, т. е силовой многоугольник будет замкнутым, то равнодействующая такой системы будет равна нулю. В этом случае действие сходящейся системы сил эквивалентна нулю и мы можем записать:

Таким образом, геометрическим (или векторным) условием равновесия ССС является условие равенства нулю её равнодействующей: для равновесия ССС необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник был замкнутым.

Аналитическое условие равновесия: для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на координатные оси равнялась нулю.

6. Понятие проекции силы.

Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на cos угла между вектором силы и положительным направлением оси. Проекция имеет положительный знак в том случае, если этот угол острый, если тупой- отрицательный, если , то она равна нулю.

7. Момент силы

Момент силы относительно точки

Моментом силы Относительно точки О (центра) называется вектор, который равняется векторному произведению радиус-вектора , проведенного из центра О в точку А приложения силы, на вектор :

Модуль этого векторного произведения:

Опустим перпендикуляр из точки О на линию действия силы . Длина этого перпендикуляра OD=h называется плечом силы относительно точки О. Тогда:

Следствие:

Если переместить силу вдоль линии её действия, то момент силы относительно точки не изменится;

Когда линия действия силы проходит через точку, то момент силы относительно этой точки всегда равен нулю.

8. Момент силы относительно оси.

Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось момента силы относительно любой точки, лежащей на этой оси.

Если момент силы относительно некоторого центра О вызывает вращательное движение тела вокруг этого центра, то момент силы относительно оси вызывает вращение тела вокруг данной оси.

При решении задач моменты сил относительно осей удобно вычислять наглядным способом по правилу:

Проводим плоскость и произвольно и перпендикулярно к оси OZ и находим точку О, пересечения этой плоскости осью.

Проектируем силу на отмеченную плоскость.

Вычисляем момент проекции Силы на эту плоскость относительно точки О:

При этом моменты силы относительно оси считается положительным, если наблюдатель видит со стороны положительного направления оси OZ, что сила пытается вращать тело вокруг оси OZ против стрелки часов.

Численно момент будет равен:

Параллельные силы.

1.Сложение параллельных сил, которые направлены в одну сторону

Равнодействующая этих сил (её модуль) будет равна:

Линия действия равнодействующей в этом случае пересекает отрезок АВ в точке С, которая делит этот отрезок на части, обратно пропорциональные модулям сил:

Т. е равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, по одну сторону, по модулю равна сумме модулей этих сил, направлена в ту же сторону, что и силы, и делит расстояние между точками приложения сил на отрезки, обратно пропорциональные силам.

2.Сложение параллельных сил, направленных в противоположные стороны.

Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в разные стороны, по модулю равна разнице модулей этих сил, направлена в сторону большей силы и делит расстояние между точками приложения обратно пропорционально модулям сил.

В том случае, если силы , то модуль равнодействующей равен нулю.

Однако действие пары сил на тело не равно нулю и вызывает вращательное движение.

Мерой вращательного движения пары сил служит момент пары, величина которого определяется по формуле:

[Hм]

В этом случае плечо h — это кротчайшее расстояние между линиями действия параллельных сил.

Направление вращения, созданного парой сил, определяет знак момента пары: если пара сил вращает тело против часовой стрелки — момент положительный, если наоборот — отрицательный.

Момент пары сил имеет величину, направление и плоскость действия, т. е векторной величиной.

Вектор момента пары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежит, и направлен в ту сторону, откуда вращается тело, под действием пары в сторону против хода часовой стрелки.

Выводы:

Пару сил, не изменяя её действия на тело, можно перенести куда угодно в плоскости, в которой лежит пара.

Пару сил, не изменяя её действия на тело, можно перенести в параллельную плоскость.

В паре сил, не изменяя её момента, можно изменять соответственно модули сил и длину плеча.

Две пары сил с равными моментами эквивалентны.

Несколько пар сил, которые лежат в одной плоскости, можно заменить одной эквивалентной парой с моментом, который равняется векторной сумме моментов этих пар.

На основании пятого вывода можно записать:

На основании теоремы о проекциях суммы векторов можно записать:

; ; ;

Модуль момента пары:

Таким образом для равновесия пар необходимо и достаточно, чтобы вектор-момент равнодействующей пары был равен нулю:

Т. е ; ;

Произвольная система сил.

Произвольной системой сил называется совокупность прилагаемых к твердому телу сил, лини действия которых произвольно ориентированы в пространстве.

Произвольную систему сил можно свести к одной равнодействующей силе, которая равна главному вектору, прилагаемому в центре сведения и к одной паре сил, которая равна главному моменту относительно того же центра:

;

Модули векторов И Определяют по формулам:

В результате для произвольной системы сил твердое тело, находящееся под действием этой системы, будет находиться в равновесии, если главный вектор И главный момент системы будут равны нулю:

;

Проектируя эти уравнения декартовы оси координат, запишем аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил, читаются следующим образом:

Для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на три взаимно взаимно перпендикулярные оси и сумма моментов всех сил относительно этих осей равнялась нулю: