Сложные проценты

При начислении сложных процентов сумма процентов, начисленных после первого периода начисления, являющегося частью общего срока хранения вклада, не выплачивается, а присоединяется сумме вклада. База для начисления сложных процентов в отличие от использования простых процентов будет увеличиваться с каждым периодом начисления, являющимся частью общего срока хранения вклада.

Если проценты за период начисления начисляются по постоянной сложной старке in и все периоды начисления имеют одинаковую длительность, сумма вклада с процентами в конце первого периода по формуле (2.4) будет равна:

S₁=Р • (1+n • i).

Сумма вклада с процентами в конце второго периода составит:

S₂=S₁ • (1+n • i_n)=Р • (1+n • i)²

Если в течение срока хранения вклада будет N одинаковых периодов начисления, сумма вклада с процентами в конце срока составит:

S=Р • (1+ i)ⁿ. (2.12)

Сумма начисленных процентов будет равна:

J = S-P=P[(1 + n • i)^N - 1]. (2.13)

Если срок хранения вклада в годах (n) не является целым числом, множитель наращения можно определить двумя способами. При первом способе используют формулу (2.12) с соответствующим нецелым показателем степени. При втором способе множитель наращения определяется по выражению:

k_h = (1+ i)ⁿ¹ - (1+n₂ • i), (2.14)

где n₁ - целое число лет в течение срока вклада;

n₂ - оставшаяся дробная часть года.

При начислении сложных процентов несколько раз в году (месяцам, по кварталам, по полугодиям) сумма вклада с процента (наращенная сумма) при сроке (т) лет будет равна:

S=P(1 + n • i)^N= P(1 + j/m)^N (2.15)

где i_n - ставка за период начисления;

j - номинальная годовая ставка процентов;

m - количество периодов начисления в году;

N - количество периодов начисления в течение срока хранения вклада (N = n • m).

Сумма начисленных процентов составит:

J = P[(l+j/m)^N – 1 ]. (2.16)

Используя формулы для наращенной суммы при начислении сложных процентов один или несколько раз в году, можно получить выражение для срока хранения вклада при заданных прочих условиях. При использовании сложной годовой ставки процентов срок хранения в годах будет равен:

n = (2.17)

Из формул для наращенной суммы можно также определить ставку сложных процентов при прочих заданных условиях:

i= (2.18)

При использовании годовой ставки сложных процентов(1) и сроке хранения (n) лет дисконтированное значение будущей суммы вклада с процентами будет равно:

P = S/(l+i)ⁿ=S • k_d, (2.19)

где k_d = 1/(1 + i)ⁿ - коэффициент дисконтирования (приведения).

При наличии сложных процентов несколько раз в году дисконтированная сумма будет равна:

P=S/(1+j/m)^N. (2.20)