Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Парная и множественная модель рентабельности собственного капитала




Рассмотрим влияние факторов на рентабельность собственного капитала при помощи парной и множественной модели, где у - рентабельность собственного капитала, %; х1- рентабельность продаж, тыс. руб.

Для расчета параметров уравнения линейной функции строим расчетную таблицу 5.

Таблица 5 - Данные и показатели для расчета параметров

Года x y x2 y2 y·x
28,51 14,29 813,02 204,28 407,54
26,98 11,94 727,99 142,60 322,19
1,93 0,68 3,74 0,46 1,31
15,73 7,32 247,45 53,65 115,22
34,88 12,36 1216,48 152,78 431,10
3,09 1,11 9,55 1,23 3,43
Сумма 111,13 47,71 3018,23 555,00 1280,80
Среднее 18,52 7,95 503,04 92,50 213,47

Для расчета значений параметров нам понадобятся:

и .

Линейная функция сводится к нахождению параметров уравнения вида:

yx = a + b x (1)

Уравнение данного вида позволяет по заданным фактическим значениям фактора x иметь теоретические значения результативного признака.

Для оценки параметров a и b используем систему (2) нормальных уравнений:

(2)

Подставим данные из таблицы 5, тогда система нормальных уравнений примет следующий вид:

Решая систему нормальных уравнений либо методом последовательного исключения переменных, либо методом определителей найдем искомые оценки параметров a и b. Можно воспользоваться следующими готовыми формулами (3):

где — ковариация признаков; — дисперсия признака х.

Подставим данные в формулы:

Используя полученные параметры a и b получим следующее уравнение регрессии:

yх= 0,29 + 0,41·x

Коэффициент регрессии b показывает, что при увеличении рентабельности продаж на 1%, рентабельность собственного капитала увеличится в среднем на 0,41%.

Тесноту линейной связи оценим с помощью коэффициента корреляции. Для этого сначала найдем среднеквадратические отклонения х и у по формулам:

По шкале Чеддока можно сказать, что связь между рентабельностью продаж и рентабельностью собственного капитала является очень сильной.

Коэффициент детерминации равен:

Мы получили, что 93,66% вариации результативного признака (рентабельность собственного капитала, %) объясняется полученным уравнением регрессии, т.е. фактором рентабельность продаж, %. Только на 6,34% оставшейся вариации уровня рентабельности собственного капитала приходятся прочие неучтенные в модели факторы.

Для расчета средней ошибки аппроксимации построим расчетную таблицу 6.


 

Таблица 6 - Вспомогательная таблица для расчета статистических величин



Года y yx │y-yx │y-yx/y│
14,29 11,98 2,31 0,16
11,94 11,35 0,59 0,05
0,68 1,08 0,40 0,59
7,32 6,74 0,58 0,08
12,36 14,59 2,23 0,18
1,11 1,56 0,45 0,40
Сумма 47,71 47,30 6,56 1,46
Среднее 7,95 7,88 1,09 0,24

Определим качество модели через среднюю ошибку аппроксимации:

Качество модели можно оценить как плохое, т. к. `А превышает 8-10%.

Оценим значимость уравнения в целом с помощью F-критерия:

Определим критическое значения критерия по таблице при Fкр(m; n-m-1; a); Fкр(1;4;0,05)=7,71

Так как Fфакт > Fкр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что уравнение регрессии является статистически значимым и гипотезу Н0 о случайном характере связи следует отклонить.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t-статистики Стьюдента, для этого определим стандартную ошибку для каждого параметра. Для того, чтобы рассчитать данные показатели, используем данные таблицы 7.

Таблица 7 – Вспомогательная таблица для расчета стандартных ошибок

Годы
-2,31 5,34 9,99 99,80
-0,59 0,35 8,46 71,57
0,40 0,16 -16,59 275,23
-0,58 0,34 -2,79 7,78
2,23 4,98 16,36 267,65
0,45 0,20 -15,43 238,1
-0,40 11,36 0,00 960,12

Определим случайные ошибки mb , ma , mr:



Тогда получим:

Найдем фактическое значение критерия tкр(n-m-1; a); tкр(4;0,05)=2,78.

Так как tb> tкр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что параметр b является статистически значимым и гипотезу H0 о равенстве его нулю следует отклонить.

Так как ta< tкр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что параметр a статистически не значим и гипотезу H0 о равенстве его нулю следует принять.

Так как tr>tкр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что коэффициент корреляции r статистически значим и гипотезу H0 о равенстве его нулю следует отклонить.

Найдем прогнозное значение рентабельности собственного капитала, подставив предполагаемое значение рентабельности продаж в уравнение регрессии при условии: xпр = 18,52 · 1,1 = 20,37, тогда yпр = 0,29+0,41 · 20,37 = 8,64%.

Таким образом, прогнозный уровень рентабельности собственного капитала при предполагаемом значении рентабельности продаж составит 8,64%.

Оценим качество прогноза, для этого рассчитаем ошибку прогноза и найдем доверительный интервал.

Найдем ошибку прогноза по следующей формуле:

Доверительный интервал имеет вид:

yпр - tкрmУх £ ух пр £ упр + tкрmУх

Для того, чтобы рассчитать доверительный интервал, найдем значение

tкр(n-m-1;α), тогда tкр(6-1-1;0,05)=2,78

8,64 – 2,78·3,07 £ ух пр £ 8,64+2,78·3,07

0,11 £ ух пр £ 17,17

Следовательно с вероятностью 95% можно утверждать, что уровень рентабельности собственного капитала (упр) находится в интервале от 0,11 до 17,17.

Рассмотрим множественную регрессию, когда в качестве второго фактора будет выступать собственный капитал, тогда получим:

у – рентабельность собственного капитала, %;

х1 рентабельность продаж, %;

х2 коэффициент оборачиваемости активов.

Логарифмическое уравнение множественной регрессии представляет собой следующий вид: у=a+b1x1+b2x2

Для нахождения его параметров решим систему из трех уравнений, воспользовавшись данными из таблицы 8.


 

Таблица 8 – Исходные данные для расчета параметров

№ года y x1 x2 y·x1 y·x2  
 
16,78 36,64 0,46 615,00 7,69 1342,50 0,21 16,78 281,73  
14,51 36,08 0,40 523,56 5,84 1301,69 0,16 14,51 210,58  
12,37 26,48 0,47 327,46 5,78 700,95 0,22 12,37 152,98  
5,64 15,58 0,36 87,88 2,04 242,68 0,13 5,64 31,82  
7,55 16,95 0,45 127,92 3,36 287,39 0,20 7,55 56,94  
2,01 4,33 0,46 8,71 0,93 18,76 0,22 2,01 4,05  
14,29 28,51 0,50 407,54 7,16 813,02 0,25 14,29 204,28  
11,94 26,98 0,44 322,19 5,29 727,99 0,20 11,94 142,60  
0,68 1,93 0,35 1,31 0,24 3,74 0,12 0,68 0,46  
7,32 15,73 0,47 115,22 3,41 247,45 0,22 7,32 53,65  
12,36 34,88 0,35 431,10 4,38 1216,48 0,13 12,36 152,78  
1,11 3,09 0,36 3,43 0,40 9,55 0,13 1,11 1,23  
Сумма 106,57 247,18 5,07 2971,33 46,52 6912,20 2,18 106,57 1293,11  
Среднее 8,88 20,60 0,42 247,61 3,88 576,02 0,18 8,88 107,76  

Система нормальных уравнений составит:

Решаем данную систему уравнений методом определителей: определитель системы равен:

772,92

-4993,05

314,93

12710,68

Найдем теперь сами параметры:

Получим уравнение регрессии:

При увеличении рентабельности продаж на 1% уровень рентабельности собственного капитала увеличится в среднем на 0,41% при неизменности коэффициента оборачиваемости активов.

При увеличении коэффициента оборачиваемости активов на единицу, рентабельность собственного капитала увеличится в среднем на 16,45% при том же уровне рентабельности продаж.

На основе построенной модели спрогнозируем уровень результативного показателя на два года вперед при условии:

1 год: хпр1=1,15*20,6=23,69 хпр2=1,15*0,42=0,48

упр1=-6,46+0,41*23,69+16,45*0,48=11,15%

2 год: хпр1=1,30*20,6=26,78 хпр2=1,30*0,42=0,55

упр1=-6,46+0,41*26,78+16,45*0,55=13,57%

Таким образом, в первом прогнозируемом году рентабельность собственного капитала составит 11,15%, если рентабельность продаж будет равна 23,69%, а коэффициент оборачиваемости активов – 0,48. Во втором прогнозируемом году рентабельность собственного капитала будет равна 13,57%, если рентабельность продаж составит 26,78%, а коэффициент оборачиваемости активов – 0,55.

Найдем множественный коэффициент корреляции. Для этого рассчитаем парные коэффициенты корреляции:

Следовательно, коэффициент множественной корреляции составит:

Показатель корреляции показывает на наличие очень сильной связи между факторами и результатом.

Значение коэффициентов парной корреляции указывают на сильную связь рентабельности собственного капитала с рентабельностью продаж – х1, и на умеренную связь с коэффициентом оборачиваемости активов – х2. Но в то же время rx1x2=0,27 указывает на отсутствие коллинеарности между факторами.

Скорректированный коэффициент корреляции рассчитаем по формуле:

Скорректированный коэффициент корреляции немного уменьшил обычный показатель корреляции, сделав поправку на число степеней свободы.

Коэффициент детерминации равен

Зависимость у от х1 и х2 характеризуется сильной связью, в которой 98% вариации у определяется вариацией учтенных в модели факторов. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 2% от общей вариации у.

Рассчитаем частные коэффициенты корреляции первого порядка зависимости у от х1 и х2:

При закреплении фактора x2 на постоянном уровне корреляция у и х1 оказывается несколько выше (0,99 против 0,98).

При закреплении фактора x1 на постоянном уровне корреляция у и х2 оказывается ниже (0, 2 против 0,44).

Показатели частной корреляции не сильно отличаются от обычных парных коэффициентов корреляции – это связано с тем, что связь между факторами слабая неколлинеарная, поэтому в чистом виде степень тесноты связи у совпадает со значением коэффициентов парной корреляции.

Для характеристики относительной силы влияния х1 и х2 на у рассчитаем частные средние коэффициенты эластичности (26):

При увеличении рентабельности продаж на 1% от ее среднего уровня рентабельность собственного капитала возрастет на 0,95% от своего среднего уровня, а рост коэффициента оборачиваемости активов на 1 увеличит рентабельность собственного капитала на 0,78% от своего среднего уровня. Мы видим, что сила влияния рентабельности продаж – x1 на рентабельность собственного капитала оказалась несколько большей, чем сила влияния себестоимости – х2.

Значимость уравнения оценим через общий F- критерий Фишера:

Табличное значение критерия при условии Fкр(m; n-m-1;α) будет равно

Fкр(2; 9;0,05)=4,26.

Так как Fфакт> Fкр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что уравнение является статистически значимым и гипотезу H0следует отклонить.

Для анализа существенности каждого фактора в модели используем частные F-критерии Фишера и оценку значимости каждого из параметров уравнения.

Найдем частные F-критерии Фишера по формулам:

Табличное значение F-критерия при условии Fкр(1; n-m-1;α) будет ровняться Fкр(1; 9;0,05)=5,12

Так как Fчаст х1> Fкр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что фактор x1 является статистически значимым и его целесообразно включить после фактора x2.

Так как Fчаст х2> Fкр, то с вероятностью 95% можно утверждать, что фактор x2 является статистически значимым и его целесообразно включить после фактора x1.

Теперь проведем анализ с учетом значимости коэффициентов регрессии. Для этого вычислим t-критерии коэффициентов b1 и b2.

По таблице критических значений находим tкр(n-m-1;α)= tкр(9;0,05)=2,26.

При сравнении фактических значений критерия Стьюдента с критическим получим, что коэффициенты b1 и b2 являются статистически значимыми. Это утверждение верно с вероятностью 95%. Поэтому фактор х2, силу которого оценивает b2, нельзя исключить как несущественно влияющий на результат.

Таким образом, обе проверки дали одинаковый результат. Общий вывод состоит в том, что множественная модель с факторами х1 и х2 не содержит неинформативных факторов. Построенная модель является хорошо детерминированной и пригодной для анализа и прогноза.

Так же данные показатели можно рассчитать автоматизировано с использованием пакета MS Excel. С помощью данной программы мы получили результаты корреляционно-регрессионного анализа (Приложение А), которые не сильно отличаются от рассчитанных в данном пункте, небольшие погрешности связаны с округлением.


 


mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2019 год. (0.035 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал