IV. Диференціювання функцій

Диференціювання складної функції.

Нехай і функції, що диференціюються. Тоді складна функція є також диференційована функція, причому

,

чи .

Це правило поширюється на ланцюжок з будь-якого кінцевого числа диференційованих функцій. Похідна складної функції дорівнює добутку похідних функцій, що її складають.

Приклад 1.

Положимо , де , тоді по формулі знайдемо

Приклад 2.

Положимо , знайдемо

Логарифмічне диференціювання

Логарифмічна похідна функції > 0 є похідною від логарифму даної функції :

.

Обчислення логарифмічної похідної називається логарифмічним диференціюванням. Логарифмічне диференціювання застосовується при обчисленні похідної степенево-показникової функції, тобто функції виду

,

а також при знаходженні похідної добутку декількох функції або похідної дробу.

Приклад 3. Обчислити похідну від функції .

Знайдемо логарифм даної функції:

.

Диференціюючи обидві частини цієї рівності, отримуємо

,

звідки

,

або

.