Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Обработка косвенных измерений. Функция одной переменной. (Формулы переноса ошибок).
Пусть искомая физическая величина Y является функцией измеряемой величины x. Y =f(x) Так как величина x не может быть определена абсолютно точно, то и рассчитанное значение Y будет содержать погрешность. Значение искомой функции следует находить, как функцию среднего арифметического значения измеренной величины , то есть в формулу для ее определения подставить вычисленное среднее значение Как определить погрешность функции, если известна погрешность аргумента? Для этого пользуются известным соотношением между дифференциалом функции df(x) и бесконечно малым приращением аргумента dx:
Полагая D x» dx, а D Y» dY, получаем выражение для погрешности функции:
где D x =tp, n-1 Sx, - производная функции при x = . Иногда оказывается удобнее (проще) вычислить сначала относительную погрешность, а уже зная ее, определить доверительный интервал. Учитывая то, что: легко видеть, что относительную погрешность функции можно вычислить, воспользовавшись следующей формулой:
§ 3 Обработка косвенных измерений. Функция многих переменных. (Формулы переноса ошибок) В общем случае искомая физическая величина может быть функцией не одной, а нескольких измеряемых величин, то есть: Y = f (X 1, X 2, … X n)* Каждая из величин X 1, X 2, … X n определяется с соответствующей погрешностьюD X 1, D X 2, … D X n. В этом случае средняя квадратичная погрешность функции будет равна корню квадратному из суммы квадратов частных производных функции по всем независимым переменным, домноженным на среднеквадратичную погрешность соответствующей величины:
В данной формуле каждая скобка под корнем представляет собой вклад погрешности соответствующей величины в погрешность функции. Если погрешности различных измеряемых величин определены с одной и той же доверительной вероятностью, то формулу можно переписать в следующем виде:
Относительная погрешность функции может быть вычислена по формуле:
Приведенные формулы справедливы для любых функциональных зависимостей, однако, они довольно громоздки, производить по ним расчеты бывает достаточно сложно, они требуют больших затрат времени. В некоторых случаях бывает удобнее использовать выражения, преобразованные для частных случаев функциональной зависимости. Рассмотрим несколько таких частных случаев.
Погрешность алгебраической суммы Пусть функция имеет вид: Y = , тогда среднеквадратичная погрешность такой функции будет определяться:
а выборочная дисперсия:
То есть выборочная дисперсия алгебраической суммы равна сумме выборочных дисперсий отдельных независимых переменных. Обратите внимание, на то, что в выражение для выборочной дисперсии функции все слагаемые входят со знаком «+», независимо от того, с каким знаком соответствующая величина входила в алгебраическую сумму. Погрешность произведения. Пусть функция имеет вид: или В этих случаях, воспользовавшись формулой (21) и, учитывая то, что логарифм произведения равен сумме логарифмов, получаем выражение для относительной погрешности функции:
То есть относительная погрешность произведения (и частного) равна корню квадратному из суммы квадратов относительных погрешностей всех сомножителей. Также как и в случае суммы, обратите внимание, на то, что все слагаемые под корнем берутся со знаком «+», независимо от того в числитель или знаменатель выражения функции они входили. Производить расчет по этой формуле обычно гораздо проще, чем по формуле (19), а доверительный интервал искомой величины легко найти: . Погрешности некоторых элементарных функций. 1. , где С=const; 2. ; 3. ;
|