Системы исчисления

В дискретной автоматике и вычислительной технике числовая информация представляется в двоичной системе счисления, при этом двоичные переменные можно рассматривать как элементы двоичного кода числа, то есть как цифры этой системы счисления. Двоичная система счисления, как и десятичная, относится к позиционным системам и является системой с основанием 2. В десятичной системе число А, имеющее n-разрядную целую часть и m-разрядную дробную часть, представляется суммой:

А=a_n-110^n-1+a_n-210^n-2+¼ +a_i10ⁱ+¼ +a₀10⁰+a_-110^-1+a_-210^-2+¼ +a_-m10^-m,

где a_i - десятичная цифра от 0 до 9, а основанием системы счисления является число 10. Например, число 236.75 в десятичной системе счисления в соответствии с этим уравнением можно записать: 236.75=2× 10²+3× 10¹+6× 10⁰+7× 10^-1+5× 10^-2.

Аналогично, в двоичной системе счисления число В можно представить в виде суммы

В=b_n-12^n-1+b_n-22^n-2+¼ +b_i2ⁱ+¼ +b₀2⁰+b_-12^-1+b_-22^-2+¼ +b_-m2^-m,

где b_i - двоичные цифры 0 и 1, а основанием системы счисления является число 2 (в десятичном виде). Например, то же число 236.75 в двоичном коде запишется: 236.75=1× 2⁷+1× 2⁶+1× 2⁵+0× 2⁴+1× 2³+1× 2²+0× 2¹+0× 2⁰+1× 2^-1+1× 2^-2

Разумеется, для одного и того же числа А, количество разрядов в двоичной системе существенно больше, чем в десятичной. Например, трехразрядное десятичное число 235 в двоичной системе представляется восемью разрядами: 11101011. Перевод целой части числа из десятичной системы в двоичную производится методом последовательного деления числа на 2 до тех пор, пока частное от деления не станет равным единице, например:

При этом число в двоичной системе числения записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего частного, справа налево. В рассмотренном примере: 42 (10) = 101010 (2).

Для перевода дробной части числа последовательно умножаем дробную часть на два.

Двоичное число записывается в виде целых частей чисел, полученных при умножении только дробной части, начиная сверху после запятой. В рассматриваемом примере (0, 6875) (10) = 0, 1011(2).

По рассмотренным правилам числа можно переводить и в другие системы счисления, например в восьмеричную, шестнадцатеричную и т. д., во всех случаях умножение или деление производится на основание новой системы счисления. Для представления чисел в любой системе счисления с основанием р используется набор из р символов: для р=2 – (0, 1), для р=8 – (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), для р=10 – (0,..., 9), для р=16 – (0,..., 9, A, B, C, D, E, F).

Правила перевода из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную систему: переводим по порядку все символы - цифры, затем нули слева и справа в записи двоичного числа отбрасываем. Пример:

725, 54Q = (111 010 101, 101 100) = 111010101, 1011B

Обратный перевод из двоичной системы:

Для перевода в восьмеричную систему: разбиваем двоичное число на группы по 3 разряда, начиная от запятой вправо и влево, добавляем недостающие нули слева и справа.

Аналогично для перевода из двоичной в шестнадцатеричную разбиваем на группы по 4 разряда. Пример: 1110101101, 10111B = (001 110 101 101, 101 110) = 1655, 56Q

1110101101, 10111B = (0011 1010 1101, 1011 1000) = 3AD, B8H

Перевод числа из одной системы исчисления в другую и наоборот.

Двоичная система исчисления

516=5*10² +1*10¹ +6*10º

Перевод чисел из двоичной системы в десятичную: