Колебания кузова на рессорах с сухим трением.

Дифференциальное уравнение подпрыгивания кузова на рессорах с постоянным сухим трением (рисунок 6.1) имеет вид

(6.1)

Рисунок 6.1 – Схема для исследования колебаний кузова на рессорах с постоянным сухим трением

Здесь знак плюс соответствует этапу движения, на котором скорость движения положительна, а знак минус этапу движения, на котором скорость отрицательна.

Часто уравнение (5.1) записывается в виде

(6.2)

В последней записи использована функция сигнум, которая определяется формулой

Уравнение (5.2) содержит нелинейное слагаемое. Тем не менее, решение этого уравнения можно получить, если рассмотреть последовательные интервалы движения, на каждом из которых скорость имеет постоянный знак (метод припассовывания). Пусть начальное условие задачи следующее

при t=0 , (6.3)

Под действием силы упругости пружины кузов будет двигаться вниз и уравнение движения имеет вид

(6.4)

или

где – собственная частота колебаний;

– стропа трения (прогиб рессор, который соответствует силе ).

При отклонении кузова на величину, меньшую или равную движение не начинается, так как силы упругости пружины недостаточно для преодоления силы трения. Полоса называется зоной застоя или порогом чувствительности рессорного. Общее решение уравнения (6.4) имеет вид

.

Определяя постоянные интегрирования из начальных условий получим

. (6.5)

Закон движения (5.5) справедлив до тех пор, пока . Так как , то скорость движения будет отрицательной до момента времени определенного из условия . В этот момент кузов остановится, а смещение z при этом равно

.

После остановки кузов начнет двигаться вверх. Повторяя приведенные выше расчеты, можно сказать, что движение вверх также будет продолжаться в течение времени . Максимальное отклонение вверх равно . Процесс движения будет продолжаться до тех пор, пока кузов не остановится в зоне застоя. Зависимость смещения (рис. 6.2) на каждом этапе движения представляет собой косинусоиду, смещенную по оси z на величину или , с амплитудой, уменьшающейся по закону арифметической прогрессии

(6.6)

где i=0, 1, 2, 3, … – номера точек касания графика колебаний огибающего прямыми;

– время между двумя соседними максимумами отклонения, которое условно можно назвать периодом колебаний.

Наличие сухого трения не меняет частоту колебаний.

Рисунок 6.2 – График затухания собственных колебаний кузова на рессорах с постоянным сухим трением

В железнодорожных экипажах для связи кузова с тележкой часто используется упругофриционная связь, при которой сила трения пропорциональна перемещению. В этом случае упругость осуществляется винтовыми пружинами и упругой составляющей деформации листовых рессор, неупругое сопротивление создается за счет трения в специальной клиновой

системе или листовых рессорах. Силовая характеристика такой связи имеет вид (рисунок 6.3).

где с – жесткость рессорного комплекта;

φ – коэффициент относительного трения, равный отношению силы внутреннего трения упругого элемента к силе Р, создающий упругую деформацию;

– деформация упругого элемента;

– статический прогиб, вызванный нагрузкой экипажа брутто ;

z – дополнительный прогиб, отсчитываемый от положения статического равновесия.

Жесткость рессор при сжатии больше чем при отпуске .

Дифференциальное уравнение колебаний подпрыгивания кузова на таких рессорах будут иметь вид

.

a)

б)

Рисунок 6.3 а – Силовая характеристика упругофриционной связи с силой трения пропорциональной перемещению; δ –схематическое изображение этой связи.

Легко видеть, что это уравнение также может быть решено методом «припассовывания». На первом интервале движения уравнение можно записать в виде

, .

Если использовать те же начальные условия (5.3), то его решение

.

В момент скорость кузова , а смещение .

Для следующего интервала движения уравнение имеет вид

, ,

а его решение

.

Очередной максимум амплитуды достигается в момент времени

.

Движение будет продолжаться до тех пор пока отклонение z не попадет в зону застоя .

Последовательность амплитуд имеет такой же вид как и для случая сухого трения с постоянной силой (5.6). Если заменить в нем на , интервалы времени выбирать по правилу:

для движения вниз , (i=1, 2, …),

для движения вверх , (i=1, 2, …).

График колебаний груза на рессорах с упругофриционной связью с силой трения пропорциональной прогибу рессор приведен рисунке 6.4.

Рисунок 5.4 – График колебаний кузова на рессорах с упругофриционной связью с силой трения пропорциональной прогибу рессор.

Литература

1. Вериго М.Ф., Коган А.Я. Взаимодействие пути и подвижного состава. – М.: Транспорт, 1986.

2. Вершинский С.В., Данилов В.Н., Хусидов В.Д. Динамика вагона: Учебник для вузов ж.-д. трансп./Под ред.С.В. Вершинского – 3 изд., перераб. и доп. – М.: Транспорт, 1991.

3. Виттенбург И.С. Динамика системы твердых тел. – М.: Мир, 1980.

4. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава. – М.: Мир, 1988.

5. Лазарян В.А. Динамика вагонов. – М.: Транспорт, 1964.

6. Лазарян В.А., Длугач Л.А., Коротенко М.Л.. Устойчивость движения рельсовых экипажей. – Киев: Наукова думка, 1972.

7. Медель В.Б. Взаимодействие электровоза и пути. – М.: Трансжелдориздат, 1956.

8. Механическая часть тягового подвижного состава: Учебник для вузов ж.-д. трансп./И.В. Бирюков, А.Н. Савоськин, Г.П. Бурчак и др.; Под ред. И.В. Бирюкова. – М.: Транспорт, 1992.

9. Радченко Н.А. Криволинейное движение рельсовых транспортных средств. – Киев: Наукова думка, 1988.

10. Стандартная терминология по динамике железнодорожного подвижного состава //Железные дороги мира, 1971, №2. С. 81-85.

[1] Критерий Гурвица: Необходимым и достаточным условием отрицательности вещественных частей всех корней многочлена вида

при является положительность определителей всех главных диагональных миноров матрицы Гурвица, которая имеетвид