Оптимізація розмірів відкритого збірника

У бланку завдання наведені всі необхідні дані для розв’язання задачі оптимізації розмірів відкритого збірника.

Математична модель збірника, яка виражає залежність його об'єму від довжини L, ширини B і висоти H, має вигляд

V = L× B× H. (7)

Збірник матиме мінімальну масу в тому випадку, якщо його сумарна площа поверхні дна і стінок буде мінімальною. Задача полягає в мінімізації цільової функції, яка виражає цю поверхню:

F(L, B, H) = L× B+2× L× H+2× B× H. (8)

Вид обмеження f(L, B, H) = 0, тобто f(L, B, H) = L× B× H - V.

Ця задача може бути розв’язана аналітичним методом, наприклад, методом множників Лагранжа. Для цього вводимо допоміжну функцію виду

j(L, B, H, l) = F(L, B, H) + l(L, B, H - V) (9)

або

j(L, B, H, l) = L× B+2× L× H+2× B× H+l(L× B× H - V). (10)

Знаходимо часткові похідні цієї функції за L, B, H, l і прирівнюємо їх до нуля:

(11)

Для визначення значень L, B, H розв’язуємо систему одержаних рівнянь алгебри. Із першого рівняння системи знаходимо

l=(B+2× H)/(B× H). (12)

Визначивши l з другого рівняння системи і прирівнявши до одержаного раніше, знаходимо L=В.

Із третього рівняння системи знаходимо l = –4/В (з урахуванням того, що L=В). Тоді з першого рівняння виходить, що B=2× H.

Отже,

, звідки (13)

; (14)

L=B; (15)

. (16)

Тоді сумарна площа поверхні дна і стінок збірника

. (17)

Після знаходження загальної площі дна і стінок оптимізованого збірника необхідно порівняти її з площею збірника без проведення оптимізації з припущенням, що L=B=H, в цьому випадку

(18)

тоді

F = 5× L². (19)

Згідно отриманих результатів необхідно зробити відповідні висновки.