Определение доверительных интервалов параметров множественной линейной регрессии.

Вопрос о доверительном интервале связан с выбором измерителя колеблемости. Обычно таковым является среднее квадратическое отклонение фактических наблюдений от расчетных, полученных при аналитическом выравнивании ряда. Среднее квадратическое отклонение от тренда равно:
' (4-12)
где yt, % - фактическое и расчетное значения члена ряда; к - число степеней свободы, к = п-т, где п - число наблюдений, т - число параметров.
Если тренд представляет линейную зависимость Д = a + bt, то использование метода наименьших квадратов приводит к упрощенным формулам расчета параметров. Сумма квадратов отклонений приводится к виду:
t=i t=i
=? [> (2 - + 60 + (я + 602] = (4-13)
n
л
= ^у] ~ 2Л " 2bytt + а2п + 2ab^t + b2^t2 t=1 i=l i=l i=l
Выражение (4.13) можно упростить, приняв начало
п
отсчета в середине ряда, тогда ^ t = 0. Параметры а и b
t=i
для линейного тренда равны:
- п^-ф)2 '
п
При Yjt = 0
a = = (4.14)
n Yf
После упрощений выражение (4.13) имеет вид:
(I»2 (I»2
Е (yt-M)2 = Zy? -
Z*2
Разность первых двух членов выражения справа равна сумме квадратов отклонений от средней арифмети
ческой, т.е Е (yt - jzt)2. Тогда
t=i
(4.15)
t=1 Zu
Выражение (4.14) показывает, что сумма квадратов отклонений от линейного тренда меньше, чем от средней арифметической. Этим выражением можно воспользоваться от определении характеристик колебаний вокруг тренда до определения самого тренда.

Сумма квадратов отклонений от линий тренда, т.е ^(У(~Ю2-> и среднее квадратическое отклонение от
тренда оу (4.12) являются основой при определении средней квадратической ошибки отдельных параметров уравнения тренда и их доверительных интервалов, а также ошибки и доверительных интервалов тренда и прогноза.
Определение доверительных интервалов требует учета отличия выборочных данных от уровней временного ряда. Предположение регрессионного анализа о нормальности распределения отклонений вокруг линии регрессии не может безоговорочно утверждаться при анализе временных рядов. Это осталось проблемой после дискуссий в статистической науке в середине прошлого века.
Получаемые параметры не свободны от погрешности, связанной с тем, что объем информации, на основе которой производится оценивание, ограничен и в некотором смысле представляет выборку. Смещение периода наблюдения всего на единицу времени приводит к изменению численных оценок параметров.
Доверительный интервал в общем виде для тренда находится как
где о^- средняя квадратическая ошибка тренда; Д- расчетное значение у t; ta - значение ^-статистики Стьюдента.
Экстраполяция на период (t+L) (L=l, 2,... является периодом упреждения) представляет расчет fit+L =а + b{t + L). Доверительный интервал для прогноза
должен учитывать не только неопределенность, связанную со спецификацией тренда, но и вероятность отклонений от тренда. Если обозначить соответствующую среднюю квад- ратическую ошибку прогноза ар, то доверительный интервал прогноза составит
Д+L ±taCrp-
Доверительные интервалы для линейного тренда у = a + bt + s определяются, исходя из того, что параметры а, b являются выборочными оценками, для которых можно найти средние квадратические ошибки. В общем виде для регрессии у = а + bx + s

T' = T> ff^07- < 416>
где х'р = xt+L - х, где xt+L - расчетное, а х - среднее значение независимой переменной, г - средний квадрат
отклонений эмпирических yt от расчетных, а "
сумма квадратов отклонений фактических значений переменной от их средней.
Поскольку независимой переменной в тренде является время t, то произведя замены, получим:
w + 1 + 2, (4.17)
т = т
р у
п
1 t=1
где ту - среднее квадратическое отклонение эмпирических
от расчетных значений у, п- число наблюдений, tpac4 - время, для которого делается экстраполяция, т.е оно равно n+L, L - период упреждения, t - значение порядкового но-
_ п +1
мера уровня, стоящего в середине ряда, t =.
Если воспользоваться тем, что величины, характеризующие разности t -1, являются членами ряда с равноотстоящими элементами (например,...-3, -2, -1-, 0, 1, 2, 3...), сумму квадратов этих отклонений можно получить по формуле
Мп^1) ^ 12
„ - т n + l n + 2L-l Величина tmru - t =п + L =. Учиты-
расч 2 2
вая отмеченное, корень выражения (4.) можно обозначить К и записать следующим образом: K = + (418)
\п +1 | Ъ(п + 2Ь-\)2 п п(п2 -1)
Значение К зависит только от п и L, т.е. продолжительности периода наблюдения и периода упреждения и может быть протабулировано. Доверительный интервал
%+L±taayK.

С увеличением ретроспективного периода значения К уменьшаются, а с увеличением L растет.