Неделя 9. Лекция 9.4.2015

Теорема 2. Линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения тоже является его решением.

Теорема 3. (Теорема о наложении решений). Если y₁ - решение линейного неоднородного дифф.уравнения с правой частью b₁(x), а y₂ - решение такого же дифф.уравнения, но с правой частью b₂(x), то линейная комбинация Ay₁ + By₂ является решением уравнения с правой частью Ab₁(x) + Bb₂(x).

Следствие. Сумма решений линейного неоднородного и соответствующего однородного дифференциального уравнения является решением неоднородного уравнения.

Определение линейной зависимости и независимости. Определитель Вронского.

Примеры. x, 2x x, x².

Основное свойство. система функций линейно-зависима.

Теорема 4. Существует ровно n линейно-независимых решений линейного однородного дифф. уравнения порядка n, всякое решение есть их линейная комбинация.

Определение. Система из n решений, указанная в этой теореме, называется ФСР (фундаментальной системой решений) линейного однородного дифф. уравнения.

3 случая: случай 1 - все характеристические корни действительные и различные

(док, что система линейно независима.)

Линейные однородные. Примеры. , .

случай 2 - все характеристические корни действительные, но среди них есть кратные

Система линейно независима и входит в ФСР однородного уравнения, если 0 есть корень кратности k.

входит в ФСР однородного уравнения, если r есть корень кр-сти k.

Пример. .

случай 3 - есть комплексные характеристические корни.

Если корень a+bi, то в ФСР входят две функции: и . Пример. .