Математическая модель многокритериальной оптимизации

В теории многокритериальной оптимизации (МКО) решаются задачи принятия решений одновременно по нескольким критериям. Задача МКО ставится следующим образом: требуется найти числа , удовлетворяющие системе ограничений

, , (7.1)

для которых функции

, , (7.2)

достигают максимального значения.

Множество точек , удовлетворяющих системе (7.1), образует допустимую область . Элементы множества называются допустимыми решениями или альтернативами, ачисловые функции , – целевыми функциями, или критериями, заданными на множестве D. В формулировке задаче (7.1)-(7.2) присутствует целевых функций. Эти функции отображают множество в множество , которое называется множеством достижимости.

В векторной форме математическую модель МКО (7.1)-(7.2) можно записать следующим образом:

при . (7.3)

Здесь – вектор-функция аргумента .

Впервые проблема МКО возникла у итальянского экономиста В.Парето в 1904 г. при математическом исследовании товарного обмена. В дальнейшем интерес к проблеме МКО усилился в связи с разработкой и использованием вычислительной техники, и уже позднее стало ясно, что многокритериальные задачи возникают также и в технике, например, при проектировании сложных технических систем.

В отличие от задач оптимизации с одним критерием в МКО имеется неопределенность целей. Действительно, существование решения, максимизирующего несколько целевых функций, является редким исключением, поэтому с математической точки зрения задачи МКО являются неопределенными и решением может быть только компромиссное решение. Например, при поиске плана предприятия, макимизирующего прибыль и минимизирующего затраты очевидна невозможность достижения обеих целей одновременно, так как чем больше затраты, тем больше должно быть продукции и тем больше прибыль.

Ввиду этого в теории МКО понятие оптимальности получает различные толкования, и поэтому сама теория содержит три основных направления:

1. Разработка концепции оптимальности.

2. Доказательство существования решения, оптимального в соответствующем смысле.

3. Разработка методов нахождения оптимального решения.