Плавноизменяющееся движение

При движении жидкости в естественных руслах обычно живое сечение непрерывно изменяется вдоль потока как по форме, так и по площади, и движение жидкости является установившимся неравномерным. Для облегчения изучения такого движения в гидравлике введено понятие «плавноизменяющееся движение», которое характеризуется следующими свойствами:

- кривизна линий тока в потоке считается весьма незначительной;

- угол расхождения между отдельными линиями тока очень мал;

- живые сечения потока являются плоскими сечениями, нормальными к оси потока.

Если внутри плавно изменяющегося потока выделить частицу жидкости и спроектировать все действующие на нее силы на плоскость живого сечения, то вследствие того, что скорости и ускорения почти перпендикулярны живому сечению, силы инерции в уравнение равновесия не войдут; поэтому уравнение равновесия и закон распределения давления в плоскости живого сечения ничем не будут отличаться от закона распределения давления в жидкости, находящейся в покое. Отсюда следует четвертое важное свойство плавно изменяющегося движения:

- при плавноизменящемся движении давление по живому сечению распределяется по гидростатическому закону, т.е. по закону прямой линии.

Если эти четыре свойства не выполняются, то движение называется резкоизменяющимся.

Дифференциальные уравнения движения жидкости (уравнения Эйлера)

При рассмотрении движения жидкостей наблюдается целый ряд новых переменных, которых не было при рассмотрении жидкости в равновесии.

Основной переменной является время , и в зависимости от нее могут изменяться все остальные величины, характеризующие движение.

В общем случае на жидкость действуют силы массовые и поверхностные .Изучение законов движения жидкости начинается с гидромеханики невязкой (идеальной) жидкости, т.е. без учета сил трения, а затем в зависимости вводят уточнения, полученные на основе экспериментальных данных.

Обозначая проекции на оси координат ускорений объемных сил через , , , проекции на оси координат скорости точки через , и , гидродинамическое давление в точке - и плотность - , получаем восемь величин, характеризующих движение каждой частицы жидкого тела.

Задача гидродинамики — установить зависимости этих величин от координат времени и пространства , и .

Выведем основные дифференциальные уравнения, устанавливающие эту зависимость. Выделим в движущейся жидкости элементарно малый объем в форме параллелепипеда.

Воспользуемся полученными ранее (Тема: “Дифференциальные уравнения равновесия жидкости”) уравнениями равновесия. К действующим на элементарный параллелепипед силам присоединим также силы инерции.

Сумма проекций всех сил на ось (включая силу инерции ), после сокращения на дает нам уравнение:

. (3.9)

Составляя аналогичные уравнения относительно осей и , получаем систему уравнений:

. (3.10)

Так как - функция четырех переменных, то ее полный дифференциал равен:

. (3.11)

Разделив все члены этого полного дифференциала на , получим:

,

аналогично можно представить

и .

Производные от координаты движущейся точки по времени представляют собой соответствующие проекции ее скорости. Подставляя производные в уравнение и перенеся члены, содержащие скорость, в правую часть, получим систему общих дифференциальных уравнений движения жидкого тела (Эйлер, 1755г.):

. (3.12)