Диагонали параллелограмма

Определение.

1, 2Вопрос Параллелограмм - это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны (лежат на параллельных прямых).

Параллелограммы отличаются между собой как размером прилегающих сторон, так и углами, однако противоположные углы одинаковые.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник ABCD будет параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. четырехугольника имеет две пары параллельных сторон:

AB||CD, BC||AD

1. четырехугольник имеет пару параллельных и равных сторон:

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

1. в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны:

AB = CD, BC = AD

1. в четырехугольнике противоположные углы попарно равны:

∠ DAB = ∠ BCD, ∠ ABC = ∠ CDA

1. в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам:

AO = OC, BO = OD

1. сумма углов четырехугольника прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ ABC + ∠ BCD = ∠ BCD + ∠ CDA = ∠ CDA + ∠ DAB = ∠ DAB + ∠ DAB = 180°

1. в четырехугольнике сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов его сторон:

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD²

Основные свойства параллелограмма

Квадрат, прямоугольник и ромб - есть параллелограммом.

Основные свойства параллелограмма:

1. противоположные стороны параллелограмма имеют одинаковую длину:

AB = CD, BC = AD

1. противоположные стороны параллелограмма параллельны:

AB||CD, BC||AD

1. противоположные углы параллелограмма одинаковые:

∠ ABC = ∠ CDA, ∠ BCD = ∠ DAB

1. сумма углов параллелограмма равна 360°:

∠ ABC + ∠ BCD + ∠ CDA + ∠ DAB = 360°

1. сумма углов параллелограмма прилегающих к любой стороне равна 180°:

∠ ABC + ∠ BCD = ∠ BCD + ∠ CDA = ∠ CDA + ∠ DAB = ∠ DAB + ∠ DAB = 180°

1. каждая диагональ делит параллелограмма на два равных треугольника
2. две диагональ делят параллелограмм на две пары равных треугольников
3. диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

1. точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
2. сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

AC² + BD² = 2AB² + 2BC²

1. биссектрисы противоположных углов параллелограмма всегда параллельны
2. биссектрисы соседних углов параллелограмма всегда пересекаются под прямым углом (90°)

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

1. формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

1. формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

1. формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

Диагонали параллелограмма