Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты

При выводе уравнения теплопроводности (3.32) предполагалось отсутствие внутренних источников или стоков теплоты. Однако есть среды, внутри которых могут протекать те или иные процессы с выделением (источник) или поглощением (сток) теплоты. К таким средам, относятся вода, лед, снег, пар, а также металлы, бетон, химические и другие вещества. Процесс испарения воды, таяния льда и снега сопровождается поглощением теплоты, а обратный ему процесс — замерзание воды — выделением теплоты. При этом теплота источника или стока может зависеть не только от координат тела, но и от его температуры и ее распределения в теле.

При наличии источника или стока уравнение теплового баланса (3.27) должно быть дополнено еще одним членом, учитывающим их теплоту, а именно:

Q ₈ = W dxdydzd τ, (3.40)

где Q ₈ — количество теплоты, выделенное или поглощенное средой в объеме ¶ x ¶ y ¶ z за время d τ; W — интенсивность источника или стока.

С учетом дополнительного члена (3.40) уравнение теплопроводности (3.32) запишем в следующем виде:

(3.41)

или

(3.42)

В том случае, когда в среде имеют место поглотители (сток) тепловой энергии, перед вторым слагаемым правой части уравнения следует ставить знак минус.