Композиция независимых испытаний при одинаковых вероятностях успеха

Вероятность появления k раз события A в серии n независимых испытаний равна: ; k=0, 1, …, n. Полученное выражение называется формулой Бернулли.

· Вероятность того, что событие A произойдет не более чем k раз.

Обозначим P_n (k) вероятность того, что событие A произойдет не более чем k раз в n испытаниях, т.е. появится или 0, или 1, или 2, или 3, …, или k раз. Тогда вероятность P_n (k) будет равна сумме первых k членов формулы Бернулли:

P_n (k)= . Эта вероятность называется кумулятивной (накопленной) вероятностью.

· Вероятность того, что событие A произойдет не менее чем k раз.

R_n(k) = .

· Вероятность того, что событие A произойдет хотя бы одинраз.

R_n(1) = .

· Вероятность того, что событие A произойдет не более одногораза.

P_n (1)= =[ 1+(n-1)p ] q^n-1.

В Mathcad значения вероятностей по формуле Бернулли выводит встоенная функция dbinom(k, n, p), кумулятивные вероятности вычисляются функцией pbinom(k, n, p).

Задание 3: В процессе проверки качества деталей на контроль взято 10 деталей, из которых наугад осуществляется выборка отдельных деталей с возвращением в контрольную группу после проверки. Доля некондиционных деталей во всей партии равна 0, 05. Каковы вероятности обнаружить в контрольной группе:

а) некондиционные детали;

б) не более двух некондиционных деталей;

в) не менее двух некондиционных деталей?

Решение: По условию задачи k =2, n =10, p =0, 05, q =1- p =0, 95.

Вероятность обнаружить 2 некондиционные детали из 10 вычисляется по формуле: : P₁₀(2) =0, 075.

Ответ на второй вопрос задачи дает формула для кумулятивной вероятности:

P_n (k)=

P₁₀ (2)= 0, 599+0, 315+0, 075=0, 988.

Для ответа на третий вопрос воспользуемся формулой:

R_n(k) =

R₁₀(2) =1-[P₁₀(0)+P₁₀(1)]=0, 086.

При решении этой задачи в Mathcad по формуле Бернулли вычисляется P₁₀ (2). Прямые вычисления сопровождаются применением функций dbinom и combin.

Затем на основе dbinom и pbinom формируются две функции пользователя,

с помощью которых вычисляются значения вероятностей P_n(k) и P_n (k) при различных исходных значениях k, n и p. Вероятности P_n(k) обозначены D(x, n), кумулятивные вероятности – через P(x, n), а вероятность R₁₀(2) обозначена R.

Задание для самостоятельного решения: В скольких шахматных партиях с равным по силе противником выигрыш более вероятен: в трех партиях из четырех или в пяти из восьми?

Провести исследование влияния числа испытаний (n =10 и n =20) на вероятности P_n(k) появления ряда успехов и кумулятивные вероятности

P_n (k) на примере задания 3.

Для этого введем значения для n – 10 и для k от 0 до 20. Для введения промежутка воспользуемся той же кнопкой клавиатуры, что и для введения присваивания. Также зададим векторы y_k, y1_k, z_k, z1_k, показывающие изменение соответствующих вероятностей.

Отобразим получившиеся зависимости на графике:

Вероятности P_n(k) довольно быстро уменьшаются до нуля, а значения P_n (k) также быстро приближаются к единице. Из приведенного графика видно, что вероятности P_n(k) и P_n (k) с увеличением числа испытаний медленнее стремятся к своим установившимся значениям (P_n(k) стремится к 0, 988 и

P_n (k) к 0, 086). Для более полной демонстрации данного поведения приведем численные значения первых четырех вероятностей P_n(k) при n =10 (вектор Y) и при n =20 (вектор Y1). Эти векторы объединены в двухстолбцовую матрицу D1 при помощи встроенной матричной функции augment.