Некоторые соотношения комбинаторики

Размещением называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые различаются либо составом, либо порядком элементов. Число размещений из n по m:

. (3)

В Mathcad встроенная функция permut(n, m) вычисляет размещения.

Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число перестановок:

. (4)

В Mathcad оператор! или (Shift+1) вычисляет факториал.

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний:

. (5)

В Mathcad встроенная функция combin(n, m) вычисляет сочетания.

Задание 2: Пусть в группе из N =100 студентов M =20 – круглые отличники. Внешней комиссией для последующего тестирования отбирается n =10 студентов. Какова вероятность того, что среди отобранных студентов число отличников будет равно m =5?

Решение: Предположим, что мы перенумеровали всех студентов. тогда общее число групп из n=10 человек будет определяться числом сочетаний из 100 по 10: . Общее число сочетаний по m=5 для отличников равно , а число сочетаний из общего числа не отличников составляет . В таких условиях число благоприятствующих случаев получаем, комбинируя каждое из сочетаний с каждым из сочетаний, т.е. Х . Искомая вероятность интересующего нас события составит ( · )/ .

Вычисление вероятности в Mathcad будет выглядеть так:

Задание для самостоятельного решения: 1. Кодовый замок имеет 10 кнопок, соответствующих цифрам от 0 до 9. Код замка – двузначный, образованный различными числами. Какова вероятность набора правильного кода при выборе кнопок наугад?

2. В общем числе 10 черных и белых шаров 6 черных. Какова вероятность того, что среди наугад взятых пяти шаров окажется3 черных?