Переносное движение. Вращение горизонтальной системы координат в

инерциальном пространстве.

В начале рассмотрения данной темы было указано на то, что если в первоначальный момент главная ось X свободного гироскопа находится в меридиане и горизонтальна, то в следующий момент, вследствие вращения Земли и движения судна, она выйдет из меридиана и одновременно отклонится от плоскости горизонта. Чтобы использовать гироскоп в качестве прибора для указания направлений относительно ГСК, необходимо определить, с какими угловыми скоростями вращаются в инерциальном пространстве сами земные плоскости (ГСК), т.е. найти выражения для угловых скоростей переносного движения.

Рис.13

А. Вращение ГСК вокруг своих осей в инерциальном пространстве вследствие суточного вращения Земли и движения судна по земной поверхности

Изобразим земной шар (рис.13), на котором покажем плоскости экватора QF, параллели qf и ось мира Pn Ps Вращение Земли, если наблюдать его со стороны Северного полюса, совершается против направления движения часовой стрелки с угловой скоростью ω. Пусть в начальный момент центр ГСК находится в точке 0. Проведем через эту точку плоскость меридиана Pn О Ps Вследствие суточного вращения Земли точка 0 за время Δ t займет положение точки 0₁, а плоскость меридиана Pn О Ps повернется в инерциальном пространстве и займет положение Pn O₁ Ps, соответствующее точке О₁ Теперь предположим, что гироскоп установлен на судне, который за время Δ t переместился по параллели из точки 0 в точку О₁ Следовательно, в этом случае ГСК займет новое положение относительно инерциального пространства, соответствующее точке О₁. Таким образом, ГСК изменяет свое положение относительно, инерциального пространства в результате суточного вращения Земли и движения судна по её поверхности.

Рассмотрим каждое из этих движений раздельно и определим численные значения угловых скоростей вращения ГСК вокруг осей гироскопа.

Построим при точке O₁ горизонтную систему координат и перенесем вектор угловой скорости вращения Земли ω в эту точку (рис. 14). Спроектируем вектор ω на оси NS и Zn n. Получим две проекции ω ₁ и ω ₂ Проекция ω ₁ называется горизонтальной составляющей, а ω ₂ вертикальной составляющей суточного вращения Земли.

Горизонтальная составляющая суточного вращения Земли ω ₁ характеризует угловую скорость вращения земных плоскостей (ГСК) вокруг полуденной линии NS и показывает, что при вращении Земли восточная часть плоскости горизонта опускается, а западная поднимается. Угловая скорость этого вращения численно равна: (37)

Вертикальная составляющая ω ₂ определяет угловую скорость вращения земных плоскостей вокруг отвесной линии и показывает, что

Рис.14 при суточном вращении Земли северная часть плоскости меридиана движется к западу с угловой скоростью:

. (38)

Знак минус в формуле (38) указывает на то, что составляющая ω ₂ направлена в сторону отрицательных значений оси Zn n, т.е. вверх или на движение северней части меридиана к западу.

Анализ формул (37) и (38) показывает, что на полюсе угловая скорость вращения меридиана вокруг отвесной линии максимальна и равна угловой скорости вращения Земли и нет вращения плоскости горизонта вокруг полуденной линии NS. Действительно, на полюсе при φ =90°, ; .

На экваторе φ = 0°, плоскость горизонта вращается вокруг горизонтальной оси x₁ (NS) со скоростью вращения Земли и нет вращения плоскости меридиана вокруг отвесной линии Z_nn: ; .

Определим угловую скорость вращения земных плоскостей (ГСК) вокруг горизонтальных (NS, EW) и вертикальной (Z_nn) осей при движении судна по земной поверхности. Для этого предварительно найдем угловые скорости движения судна по меридиану и параллели соответственно. На рис. 13 приведен частный случай, когда судно перемещался из точки 0 в точку O₁ по параллели. В общем случае курс судна может быть произвольным. Допустим судно движется курсом, равным путевому углу (ПУ), и скоростью V из точки O₁ (рис.15). Проекции линейной скорости V на оси NS и EW определяется равенством:

(39)

Проекция линейной скорости V_Е определяет движение судна по параллели вокруг оси мира P_nP_s. Угловую скорость этого движения обозначим ώ _N, значение которой определится равенством:

; (38)

где r – радиус параллели. Из рис. 15 находим r = R cos, где R – радиус Земли, φ – широта. Подставив r в (формулу 38) получим: . (39)

Проекция линейной скорости V_n характеризует движение судна по меридиану вокруг линии EW с угловой скорость ώ _е определяемой по формуле:

. (40) (50)

Перенесем векторы ώ _N с рис. 15 на рис.16. Угловую скорость ώ _N спроецируем на оси Zn и NS.

Проекцию ώ _N на ось NS обозначим ω _KN проекцию ώ _N на ось Znn обозначим ω _kn/ Их значения опре-

Рис.15 делятся равенствами:

(41)

Угловые скорости (40) и (41) характеризуют вращение земных плоскостей (ГСК) вокруг своих.осей в инерциальном пространстве вследствие движения судна по земной поверхности.

Угловые скорости вращения земных плоскостей вокруг своих осей относительно инерциального пространства с учетом суточного вращения Земли и движения судна определяются суммой проекций по соответствующим осям. Рис 16;

Выражения (42-44) характеризуют угловые скорости переносного движения ГСК вокруг своих осей Z_nn, NS, EW соответственно:

Рис.16

по оси Z_nn: ; (42)

по оси EW: ; (43)

по оси NS: . (44)