К выполнению контрольной работы №2

Методические указания к решению задачи 1

Решение этой задачи требует знания методики расчета трехфазной цепи с симметричным потребителем, соединенным «звездой» или «треугольником». Ознакомьтесь с материалом на стр. 370-377 в [1]. Перед решением задачи рассмотрите типовой пример 1.

Пример 1. Найти фазные и линейные токи, активную, реактивную, полную мощности фаз и всего приемника, коэффициент мощности. Построить векторную диаграмму, если R_ф =3 Ом, Х_ф =4 Ом, U_л =220 В, потребители соединены в “треугольник”.

Рис.5.

А

В

С

A I_A

R_ф X_ф

I_CA I_B

X_ф I_AB

I_C R_ф

X_ф R_ф

C B

I_BC

Решение:

1. Т.к. соединение D, то ; U_ф = U_л =220 B

2. Сопротивление каждой фазы .

3. Т.к. нагрузка симметричная, то достаточно произвести расчет только для одной фазы:

Фазный ток:

;

Линейный ток:

.

Коэффициент мощности:

;

.

4. Мощности фаз:
Р_ф= I_ф× U_ф× cos j_ф= 44× 220× 0, 6 = 5808 Вт;

Q_ф= I_ф× U_ф× sin j_ф = 44× 220× 0, 8 =7744 ВАР;

S_ф= I_ф× U_ф = 44× 220 = 9680 ВА.

5. Активная, реактивная, полная мощности всего приемника в 3 раза больше, чем мощность одной фазы:

P=3× Р_ф = 3× 5808 = 17424 Вт;

Q=3× Q_ф = 3× 7744 = 23232 ВАР;

S= 3× S_ф =3× 9680=29040 ВА.

Векторная диаграмма:

U_AB

I_AB

I_CA

U_CA I_BC U_BC

Методические указания к решению задачи 2

Решение этой задачи требует знания методики расчета трехфазной цепи с несимметричным потребителем, соединенным «звездой» или «треугольником». Ознакомьтесь с материалом на стр. 377-386 в [1]. Перед решением задачи рассмотрите типовой пример 2.

Пример 2. К зажимам четырехпроводной сети с линейным напряжением 220 В подключен несимметричный приемник. Сопротивление фаз приемника R_А =3 Ом,
X_А =4 Ом, R_В = 5 Ом; X_С = 10 Ом. Определить фазные токи приемника и ток в нейтральном проводе. Построить векторную диаграмму. Вычислить полную, активную и реактивную мощности каждой фазы и всего приемника, коэффициенты мощности каждой фазы.

Рис.6.

A

B

C

N

R_A R_B X_C

X_A

Решение: решим задачу с использованием символического метода.

1. Т.к. соединение «звезда», то .

2. Запишем в комплексном виде фазные напряжения:

U_А = 127 В;
U_B = 127е^-j120°= 127(сos(-120^о) +jsin(-120^о))=127(сos120^о-jsin120^о)=127(-0, 5-j0, 87)=
=-63, 5-j110, 5 В;

U_C = 127е^j120°=127(сos120^о + jsin120^о) = -63, 5+j110, 5 В.

3. Запишем в комплексном виде сопротивления фаз, а также их модули:

Z_A=R_А+jX_А = 3+j4 =5e^j53° Ом; ;

Z_B = R_B = 5 Ом; Z_B = 5 Ом; Z_С = -jX_С = -j10 Ом; Z_С = 10 Ом.

4. Вычислим фазные токи:

.

Ток в нейтральном проводе:

I₀ = I_A+I_B+I_C = 15, 2-j20, 3-12, 7-j22, 1-11-j6, 4=-8, 5-j48, 8 A.

5. Коэффициенты мощности фаз:

; ; .

6. Полная комплексная мощность фаз:

S_A = I_AU_A = 127(15, 2+j20, 3) = 1930, 4+j2578, 1 BA

P_A =1930, 4 Вт; Q_A = 2578, 1 ВАР.

S_B = I_BU_B =(-12, 7+j22, 1)× (-63, 5-j110, 5) = 806, 45+j1403, 35- j1403, 35+2442, 05 =
= 3248, 5 BA.

P_B = 3248, 5 Bт; Q_B = 0 ВАР.

S_С = I_СU_С =(-63, 5+j110, 5)(-11+j6, 4)=698, 5-j406, 4 -j1215, 5-698, 5=-j1621, 9 BA.

P_C = 0; Q_C = -1621, 9 ВАР;

S= S_A+ S_B+S_С =1930, 4+j2578, 1+3248, 5-j1621, 9=5178, 9+j956, 2 BA;

P =5178, 9 Вт; Q = 956, 2 BAР.

Векторная диаграмма:

U_A

I_A

I_AB

I_B

U_C U_B

I_C I₀

Методические указания к решению задачи 3

Решение этой задачи требует знания методики расчета линейных электрических цепей несинусоидального тока. Ознакомьтесь с материалом на стр. 435-439 в [1]. Перед решением задачи рассмотрите типовой пример 3.

Пример3. Электрическая цепь из последовательно включенных активного сопротивления R= 20 Ом, индуктивности L = 0, 1 Гн и емкости С = 11, 25 мкФ =
= 11, 25× 10^-6 Ф питается от источника с напряжением (в вольтах) u = 3 10sin(wt-
-15°) + 77, 5sin3wt + 40sin(5wt +18°45'). Найти мгновенное значение тока в цепи, вычислить действующие значения тока и напряжения, а также актив­ную мощность цепи, если частота первой гармоники f₁=50 Гц.

Решение:

1. Применение метода наложения. Заданный источник энергии создает на выводах цепи напряже­ние, содержащее три синусоидальные составляющие: первую, третью и пятую гармоники. Применяя к заданной линейной цепи метод наложения, можно рассматривать для любого момента времени ток в цепи как результат нало­жения частичных токов, созданных каждой гармоникой напряжения в отдельности.

Таким образом, в рассматриваемой задаче нужно вычислить полное сопротивление цепи для частот f₁, f₃ = 3f₁ и f₅ = 5f₁ и найти токи, создаваемые синусоидальными напряжениями (гармониками) этих частот.

2. Вычисление сопротивления цепи.

Ин­дуктивное сопротивление пропорционально частоте, и по­тому для первой, третьей и пятой гармоник имеем:

; X_L3 = 3X_L1 = 94, 2 Ом; X_L5 = 5X_L1 =157 Ом.

Емкостные сопротивления для тех же гармоник:

X_С3 = X_С1/3 = 94, 2 Ом;

X_С5 = X_С1/5 = 56, 5 Ом.

Полные сопротивления цепи для рассматриваемых гармоник:

;

;

.

3. Определение гармоник тока. Для первой гармоники максимальное значение тока:

Фазовый сдвиг между напряжением и током первой гармоники определяется по уравнению:

,

откуда:

j₁ = - 85^o20’.

Поскольку на частоте первой гармоники в цепи преоб­ладает емкостное сопротивление (X_C1> X_L1), ток опережа­ет напряжение на угол, равный 85^o20' и поэтому:

i₁=I_1msin(w₁t - 15^o - j₁) = 1, 23sin(w₁t + 70° 20') А.

Для третьей гармоники максимальное значение тока

.

Сдвиг по фазе между напряжением и током третьей гармоники j₃ = 0, так как на этой частоте в цепи устанав­ливается резонанс напряжений (X_L1=X_C3). Соответственно:

i₃=I_3msin3w₁t=3, 88sin3w₁t A.

Для пятой гармоники имеем:

;

, j₅ = 78°45'.

На этот угол (j₅) ток пятой гармоники отстает от на­пряжения, так как в цепи преобладает индуктивное со­противление (X_L5> X_C5). Соответственно
i₅ = I_5msin(5w₁t +18^o45' - j₅)=0, 39sin(5w₁t –60^о) А.

Мгновенное значение тока найдем наложением гармоник тока в (амперах);

i = i₁+i₃+i₅=1, 23sin(w₁t + 70° 20') + 3, 88sin3w₁t +0, 39sin(5w₁t –60^о) А.

4) Вычисление действующих значений тока и напряжения. Действующее значение тока в цепи:

.

Действующее значение напряжения источника энергии:

.

5. Вычисление активной мощности. Ак­тивная мощность цепи складывается из активных мощно­стей отдельных гармоник, или в нашем случае:

.

Методические указания к решению задачи 4

Решение этой задачи требует знания особенностей протекания переходных процессов в цепях с индуктивностью и емкостью. Ознакомьтесь с материалом на стр. 480-494 в [1]. Перед решением задачи рассмотрите типовые примеры 4, 5.

Пример 4. Катушка индуктивности, соединенная последовательно с сопротивлением R = 30 Ом и включенная в сеть постоянного тока напряжением U = 110 B, мгновенно замыкается накоротко рубильником Р (рис.7). По какому закону будет изменяться ток в катушке после замыкания рубильника, если ее индуктивность L =
= 0, 168 Гн, а сопротивление r =14 Ом?

Решение: До замыкания рубильника ток в катушке не изменялся. Его величина может быть определена по закону Ома:

После замыкания рубильника ток в катушке начнет убывать по закону, определяемому уравнением:

Постоянная времени:

Поэтому: .

Пример5. Дана цепь, в которой емкость С = 100 мкФ и сопротивление r =
= 100 Ом соединены последовательно (рис.8). Цепь включается в сеть напряжением U = 220 В. Найти закон изменения тока i и напряжения на конденсаторе u_c в зависимости от времени.

Решение: Напряжение и ток конденсатора для любого момента времени будут определяться уравнениями:

,

, т.к. .

рис.7. рис.8.

+ +

L r r C

U

U

R -

-