Точечные оценки измеряемой величины. Оценка среднего значения измеряемой величины.

Оценку неизвестного параметра генеральной совокупности случайной величины одним числом называют точечной оценкой. Отклик оценивается по результатам прямых или косвенных измерений. Способ оценки зависит от природы отклика (случайная или неслучайная величина) и точности измерений.

1) Отклик является неслучайной величиной. Ошибки измерения малы по сравнению со значениями отклика.

При i -ом измерении получим: , где Y – истинное значение измеряемой величины (отклика); – измеренное значение отклика; – погрешность измерения.

Если , то погрешностью измерения можно пренебречь и полученное после первого измерения значение принять за истинное.

2) Отклик является неслучайной величиной, но погрешностью измерения пренебречь нельзя.

Если все n измерений величины а проведены с одинаковой точностью, то такие измерения называют равноточными измерениями.

При равноточных измерениях в качестве оценки истинного значения величины y используют среднее арифметическое значение результатов измерений.

Среднее арифметическое значение величины y:

(3.2)

При расчете величины дисперсии по результатам экспериментальных измерений следует руководствоваться следующими правилами.

Вариант 1. Измерение известной величины а (эталона).

В качестве эффективной оценки дисперсии используют средний квадрат отклонения результатов измерений от значения а.

(3.3)

Вариант 2. Измерение неизвестной величины.

, (3.3”)

Сомножитель – гарантирует несмещенность оценки.

Среднее квадратическое отклонение величины от среднего значения :

; (3.4)

Величина стандартного отклонения в квадрате: называется эмпирической дисперсией.

Точность соответствия и истинному значению тем выше, чем больше число измерений n.

Рассмотренные оценки являются несмещенными и состоятельными. Если случайные ошибки измерения строго подчиняются нормальному закону распределения вероятностей, то оценки будет эффективными. При неограниченном числе измерений оценки также становятся эффективными.

3) При оценке неравноточных измерений.

В этом случае при обработке результатов экспериментальных измерений используют веса измерений – числа обратнопропорциональные дисперсиям ошибок измерений.

Взвешенное среднее арифметическое значение:

(3.5)

Взвешенное среднее квадратическое отклонение:

(3.6)

Эта оценка несмещенная и состоятельная. При дополнительном предположении, что случайные ошибки измерения подчиняются нормальному закону распределения вероятностей, оценка является эффективной.

Вес измерения – это некоторое число, характеризующее мощность (или значимость) измерения. Чем больше вес i -ого измерения, тем в большей степени данное измерение соответствует истинному значению а измеряемой величины в статистическом смысле. Вес измерения пропорционален числу измерений и обратно пропорционален дисперсии среднего значения результатов измерений (дисперсии средних значений обратно пропорциональны количествам измерений).

Однако, при оценках измеряемых величин важна не величина весов, а их отношение друг к другу, т.е., как правило, задают . Где P_i можно задать одним из следующих способов: а) ; б) (чем больше объем измерений в серии, тем выше надежность средних); в) при использовании приближенных значений дисперсий в качестве веса принимают величину .