Оценка ошибки измерения. Нормальный закон распределения случайных ошибок измерения

Систематическая погрешность (ошибка измерения) определяется следующим образом: ∆ _{систем.}=μ -z, где μ – математическое ожидание, z – истинное значение. Так как на практике μ точно не может быть определено, то его значение заменяется средним значением измеряемой величины :

Случайные ошибки – это ошибки вызванные большим количеством таких факторов, эффекты от действия которых столь незначительны, что их нельзя выделить или учесть в отдельности. Случайные ошибки являются неустранимыми, их нельзя исключить (в форме поправки) из результатов измерений. Учет влияния случайных ошибок основан на знании законов их распределения. При анализе поведения случайных ошибок пользуются понятием случайной величины и законами их распределения.

Случайная величина – это величина, которая принимает то или иное значение с определенной вероятностью.

Генеральная совокупность случайной величины – это полный набор всех возможных значений случайной величины. Генеральная совокупность может содержать как бесконечно большое число случайных величин, так и конечное. Генральная совокупность характеризуется средним значением μ случайной величины z и дисперсией σ ² (рассеянием).

Выборка. Если из генеральной совокупности случайным образом выбрать n величин, то такой массив называется выборкой объема n.

Любая случайная величина z изменяясь случайным образом может иметь значение в пределах некоторого интервала [ z_i, z_i+1 ]. Причем каждому интервалу [ z_i, z_i+1 ] соответствует вполне определенное число, называемое вероятностью попадания величины z в интервал [ z_i, z_i+1 ]. Обозначается Р(z).

В самом общем случае Р(z) может быть определена как отношение числа m попаданий величины z в интервал [ z_i, z_i+1 ]. к числу всех возможных значений n величины z:

Функция, описывающая распределение вероятностей попадания z по всем или выделенным для рассмотрения интервалам [ z_i, z_i+1 ]: называется плотностью распределения. При чем: .

Нормальный закон распределения случайных величин (или плотность нормального распределения) имеет следующий вид:

, где параметр σ – характеризует точность измерения случайной величины z.

Основные свойства нормального закона включают следующие основные положения:

- нормальный закон распределения случайных величин (ошибок измерений) отражает свойство симметрии случайных ошибок, т.е. случайные ошибки разных знаков встречаются примерно одинаково часто;

- свойство концентрации ошибок измерений – малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие;

- если случайная величина z распределена по нормальному закону, то при любых постоянных c > 0 и d величина cz+d также распределены по нормальному закону;

- если случайная величина z и х распределены по нормальному закону, то их сумма z+х распределена по нормальному закону.

Графическое представление плотности распределения вероятности позволяет получить семейство кривых, которые называются кривыми распределения.

Любой закон распределения случайной величины можно задать графически, таблично либо с помощью числовых характеристик. Основными числовыми характеристиками нормального закона распределения являются математическое ожидание и дисперсия. Эти величины можно вводить двумя способами – теоретически (метод моментов) и на основе результатов обработки выборки случайной величины. Рассмотрим метод моментов задания числовых характеристик нормального закона распределения случайной величины (случайной ошибки измерения). Для этого введем ряд следующих понятий.

Начальный момент случайной величины z к-ого порядка называется интеграл следующего вида:

Начальный момент нулевого порядка равен единице α ₀=1. так как для нормального распределения:

Начальный момент первого порядка:

– т.е. равен среднему значению величины z.

Величина μ (начальный момент первого порядка α ₁) есть математическое ожидание самой величины z и называется центром распределения случайной величины z. (α ₁=μ).

Разность z-α ₁ (отклонение случайной величины от ее центра) называется центрированной случайной величиной.

Центральный момент к-ого порядка случайной величины z называется интеграл:

Не трудно показать, что:

М₀=1.

М₁=0:

Центральный момент второго порядка:

называется дисперсие йσ ² или Д(z).