Рассмотрим методологические и математические основы исследования операций.

Операция – совокупность взаимосогласованных действий, направленных на достижение целей.

Операция – любая управляемая целенаправленная деятельность людей.

Задача исследования операций: обоснование наилучших решений для ЛПР в предстоящих условиях проведения операции.

Исследование операций представляет собой анализ и поиск наилучших и безопасных путей достижения целей путем организации и проведения мероприятий на основании применения современных методов математического моделирования, математических методов анализа, методов оптимизации и принятия решений в различных условиях.

Исследовать операцию можно по-разному: просто рассуждать, как решать проблему, опираясь на мат. модели.

Условия принятия решения:

- Условия неопределенности

- Условия риска

- Условия определенности

- Условия конфликта

Условие определенности имеет место, когда при проведении операции не возникают неопределенные и случайные факторы, а последствия принятого решения определены однозначно, т.е. каждому решению всегда соответствует строго определенный результат.

Условие неопределенности определяется наличием не одной, а нескольких операций, и результат принятия решений характеризуется набором (вектором) значений скалярных функций. Задача выбора решения в таких условиях сводится к задаче векторной оптимизации и ее компромиссному решению.

Условие риска имеет место, когда при проведении операции возникают случайные факторы с априори известными для них законами распределения вероятности и последствия принятого решения представляются не одним результатом, а некоторым множеством с известными вероятностями их осуществления. Задача выбора решения в этих условиях сводится к задаче принятия статистических решений при простых или сложных альтернативных гипотезах.

Условие конфликта определяется тем, что каждому решению соответствует результат, являющийся функцией от действий противодействующей стороны или совокупности противодействующих сторон, причем противодействующие стороны действуют в конфликте независимо или в составе независимых коалиций. Конфликты могут быть либо антагоническими, либо с непротивоположными интересами.

Этап исследования операций:

1) Определение целей, постановка задач операции, разработка множества вариантов действий, описание исходных данных, возможных условий проведения операции

2) Построение моделей операции в виде математического описания целей, процессов операции, дающих возможность анализировать результаты проведения операции и сравнивать варианты действий

Установленных правил построения не существует. Механизм выбора класса моделей зависит от условий принятия решений.

Участников операции, стремящихся к достижению поставленной цели, называют оперирующей стороной.

Факторы – условия, обстоятельства, характеризующие обстановку проведения операций и влияющие на ее исход.

Различают факторы:

- Определенные (точно известные)

- Неопределенные (известно множество их значений)

- Случайные (известна вероятностная мера на множестве их значений)

- Контролируемые (которыми распоряжается оперирующая сторона для достижения целей)

- Неконтролируемые (препятствуют достижению цели операции)

Простейшие операции в исследовании операций

Имеется сторона Х, в интересах которой проводится операция. Сама операция отождествляется с выбором стратегии х, принадлежащей множеству стратегий Х. Имеется критерий эффективности f(x), определяющий, насколько удовлетворительно выполнена операция. Требуется выбрать такую стратегию из множества допустимых, чтобы критерий эффективности выполнения операций имел максимальное значение.

Формально эта операция представляется в виде , (1)

В приведенной операции (1) отсутствуют неопределенности, и эффективность определяется выбором стратегии стороны, участвующей в операции.Такой класс операций является предметом исследований теории выбора но основе однокритериальных, многокритериальных и матричных механизмов выбора (критериально-экстремизационные и парнодоминантные механизмы механизмы выбора)

Однако часто при проведении операции бывает так, что значение критерия эффективности не определяется выбором стратегии только одной стороны. Критерий эффективности в этом случае будет иметь вид: К (Х, У) где Х – допустимые стратегии стороны, проводящей операцию; У – неопределенные факторы, которые либо выбирает другая сторона, преследующая свои цели У, либо они зависят от природы.

Простейшей операцией в этом случае является возможное описание неопределенных факторов, имеющих случайный характер с известной вероятностной мерой, характеризующей распределение случайной величины . При этом сторону, проводящую операцию, интересует не результат каждой отдельной операции, а средний результат большого числа проведенных операций. Поэтому при выборе стратегии интересует средний результат многих операций так, чтобы реализовался критерий (2)

.Такой класс операций является предметом теории оптимального статистического синтеза решающих правил на основе Байесовского подхода..

Однако, когда исходные предпосылки операции (2) не выполняются, т.е. неизвестна вероятностная мера (закон распределения случайной величины у), и если операция проводится незначительное число раз, то критерий (2) ничего не отражает, и выбор стратегии не имеет смысла. В этом случае поступают следующим образом: полагают, что любое значение неопределенных факторов может действительно реализоваться и поэтому при выборе стратегий поступают: стратегию выбирают так, чтобы при наименее благоприятном значении неопределенных факторов значение критерия эффективности операции было максимальным. Формально такая операция описывается:

В этом случае говорят, что стратегия выбирается в соответствии с принципом гарантированного результата.

При этом предполагают, что. какая бы стратегия стороны Х ним была бы выбрана, неопределенные факторы могут принять неблагоприятное значение.Поэтому выбирают такую стратегию, которая дает максимальный эффект именно при этих обстоятельствах.

Лекция №3

Методологические и математические основы статистической постановки задачи принятия решения

СтатистическаяПОСТАНОВКА задачи принятия решения

В практических приложения теории принятия решений часто результаты экспериментов, наблюдений зафиксированы в аналоговом (непрерывном) виде в виде реализации x(t) некоторого случайного процесса либо в виде дискретного набора в виде конечной совокупности чисел x₁, x₂, …, x_n, являющихся значениями некоторых случайных величин.

Предположим, что x(t) подвергается дискретизации в моменты времени t₁, t₂, …, t_n, принадлежащие интервалу наблюдения. При таком представлении результаты наблюдений можно представить конечномерным вектором X=(x₁, x₂, …, x_n) или точкой n-мерного пространства наблюдений Х, на котором задана вероятностная мера или многомерная функция распределения с плотностью распределения W(x). При этом W(x) определена не полностью (либо дисперсия, либо мат. Ожидание неизвестно, закон известен – непараметрический случай). При этом при такой постановке полагаем, что W(x) относится к классу условных функций распределения W(x/v), где пространству параметров. Таким образом в задаче принятия решений нас интересуетистинное значение неизвестного параметра , информация о котором заключена в результатах наблюдения х (выборки.). => Следовательно задача оптимального синтеза в отыскании алгоритма обработки результатов наблюдений, приводящего к оптимальному выбору решения.

Любое решение устанавливает соответствие между точками x и пространства наблюдений и пространства решений Г.

Каждое решение есть функция наблюдаемой выборки, которую называют статистикой.Любое решение устанавливает соответствие между точками пространства наблюдений Х и пространством решений Г.

Для понятия оптимального решения вводится функция потерь , учитывающая последствия выбора решения. а также критерий качества - среднее значение потерь по пространству наблюдений:

- условный риск.

Оптимальное решение соответствует минимальному значению условного риска.

в заданном классе функций при фиксированном .

Несколько иной критерий качества получается при изменении точки зрения на природу неизвестного параметра v. Полагая, что этот параметр является случайным с априори известной функцией распределения w(v), тогда оптимальное решение находят минимизацией среднего риска по пространству параметров:

Полученное таким образом оптимальное решение называют Бассовским, а минимальное значение - Бассовским риском.

Существуют 2 разновидности решения поставленной задачи:

- Проверка статистических гипотез

- Оценка параметров

Проверка статистических гипотез заключается в выборе решения: принять одну гипотезу из конечной совокупности гипотез относительно возможных состояний изучаемого процесса. Можно каждому состоянию приписать некоторое число s_k, k=1…m. => совокупность этих чисел составляет полную группу и правило выбора решения - приписывают каждому результату наблюдений Х одно из решений i=1…m о том, что s_i состояние истинное. При этом функция потерь есть квадратная матрица , элементы которой представляют собой платы за принятое решение (ошибочное либо правильное) относительно состояния s_j.