Расчет основных показателей работы ГПС на основе теории массового обслуживания

В рассматриваемой работе на основе теоретических моделей массового обслуживания предусмотрено проведение расчетов характеристик надежности работы ГПС, интенсивности поступления деталей на транспортер ГПС в зависимости от заданной вероятности отказа в обслуживании.

Теория массового обслуживания занимается вопросами образования очередей, обслуживанием заявок – однотипных требований, которые поступают с систему в массовом количестве. Обслуживание происходит прибором (терминология ТМО), который расположен на канале обслуживания. Приборов и соответствующих каналов обслуживания может быть несколько. Существует ряд разновидностей моделей: с неограниченной очередью, с ограничением длины очереди, с отказом в обслуживании (при занятом канале), с приоритетом и др. Поток заявок подчиняется распределению Пуассона...

Система массового обслуживания может быть описана графом состояний. Состояния системы изображаются прямоугольниками, а возможные переходы – стрелками.

Рассмотрим пример случайного процесса: техническое устройство состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может отказать. После чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся случайное время. Возможные состояния системы:

- оба узла исправны

- 1-й узел ремонтируется, второй исправен

- 2-й узел ремонтируется, первый исправен

- оба узла ремонтируются.

Рис. 4.2. Граф состояний

В зависимости от типов моделей графы состояний системы будут различными.

Рассмотрим многоканальную систему с отказами. В качестве примера рассмотрим станочную систему, состоящую из параллельно работающих единиц оборудования и оснащенную центральным накопителем емкости на мест. В накопитель поштучно поступают заготовки с интенсивностью . Каждая поступившая в систему заготовка доступна для обработки, если в ней имеется хотя бы один свободный станок, в противном случае заготовки ожидают своей очереди обработки в накопителе. Интенсивность обработки , где -средняя длительность обработки. Рассматриваемая система является многокритериальной СМО с ограниченной очередью.

Рассмотрим возможные состояния системы: - все станки и накопитель свободны; - занят один станок, остальные станки и накопитель свободны; - заняты все станки, накопитель свободен; - заняты все станки и одно место в накопителе; - заняты все станки и все места в накопителе.

Таким образом, состояние системы определяется числом находящихся в ней заготовок (требований).

Увеличение числа занятых станков и мест в накопителе, переход из состояния в состояние происходит под действием входного потока заготовок с интенсивностью . Пропускная способность одновременно работающих станков суммируется, поэтому переход из состояния в состояние определяет поток событий с интенсивностью , если и , если . На рисунке показан граф состояний рассматриваемой системы.

Граф состояний системы изображен на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Граф состояний системы

Обозначим через вероятность того, что система находится в состоянии . Принимая, что число уходов и приходов в каждое из возможных состояний будет сбалансированным, граф состояния можно описать следующей системой уравнений Колмогорова:

Поскольку система с достоверностью может находиться в любой из возможных состояний, то . Решая систему уравнений и вводя обозначения , определяем вероятность того, что занято k каналов обслуживания (станков и мест в накопителе) по формуле

при (4.1)

при

Вероятность, что все каналы обслуживания свободны (все станки и места в накопителе свободны) определяется по формуле

(4.2)

Поступающие в систему заготовки получают отказ, если заняты все станки и накопитель, т.е. при . Вероятность отказа равна

(4.3)

Число станков, занятых обработкой, вытекает из состояния . Среднее число занятых станков в установившемся процессе обработки деталей равно

(4.4)

Если в момент поступления заготовки все станки заняты и, кроме того, уже имеется очередь в накопителе из заготовок, то средняя длительность ожидания обработки равна

.

Приведенная методика анализа и полученные общие зависимости могут быть использованы и для решения других частных задач. При имеет место одноканальная СМО с очередью (например, станок с локальным накопителем) при будем рассматривать - канальную систему с отказами.