Универсальное множество. Дополнение множества.

При решении конкретной задачи обычно встречаются множества, состоящие из элементов определенной природы. Например, в геометрии это множества точек или прямых, в арифметике- множества чисел, в социологии- множества людей и т.п. Поэтому элементы другой природы рассматривать вовсе и не требуется.

Определение 1: универсальное множество (обозначать будем U) есть множество всех рассматриваемых в данной задаче элементов.

Поскольку практически всегда ясно, с объектами какого рода мы работаем, будем считать, что все рассматриваемые ниже множества содержатся в одном и том же универсальном множестве. Таким образом, для всякого рассматриваемого множества А A_ U. Cледовательно, выполняется соотношение

A _ U = U; A _ U = A (1)

Определение 2: множество U \ А называется дополнением множества А и обозначается через А’(или А^С или СА).

Формально А’={x| x_A}. Тогда A” означает (A’)’= U \ A’.

Нетрудно видеть, что

A _ A’ = U; A _ A’ = _ (2)

Утверждение 1 (закон инволюции): Для любого множества А

A” = A (3)

Доказательство:

И левая часть, и правая часть – это те и только те элементы U, которые не принадлежат А’.

Утверждение 2: Если А _ В, то В’ _ A’.

Доказательство:

Пусть x_B’. x_B. x_A. x_A’. Что и требовалось доказать.

Утверждение 3(законы де Моргана для множеств):

(A È B)’ = A’ _ B’ (5)

(A _ B)’ = A’ È B’ (6)

Доказательство:

Докажем сначала (5). x_(A _ B)’, следовательно x_ A _ B, но это равносильно истинности высказывания T , что означает, что истинно x_A) x_B, то есть x_A’) x_B’, а значит x_A’_B’.

Докажем (6), используя (5): (A’_ B’)’ = A”_ B” = A _ B, отсюда (A_B)’ = (A’_B’)”. (A _ B)’ = A’_B’. Что и требовалось доказать.

Многие свойства множеств удобно иллюстрировать при помощи диаграмм Эйлера-Венна. При этом удобно множество изображать кругами или другими связными фигурами. U- прямоугольником, внутри него остальные множества.

Например, легко увидеть(нарисуйте), что (A_B) \B=А не всегда верно, а если А_B=_, то верно.

Поэтому удобно, прежде чем доказывать какое-либо теоретико-множественное равенство, представить его левую часть и правую часть при помощи диаграмм Венна.

И в заключении параграфа введем еще одно важное понятие, связанное с количеством элементов множества.

Рассмотрим множество А={1; 2;...; n}={x| x_ N) 1_x_n}. Оно содержит n элементов. Будем говорить, что мощность множества А есть n и записывать: |A|=card(A)=n.

Далее будем говорить, что любое множество В, имеющее то же число элементов, что и А, имеет мощность n.

Определение 3: говорят, что множество Х конечно, если Х=Æ или если существует число n_ N, такое, что Х имеет такое же число элементов, что и {1; 2;...; n}, то есть /Х/=n. Если Х _ Æ и такого n не существует, то Х называют бесконечным.

Пример: 1) A={x| x_ Z) -2_x< 2}|A|=4

2) В классе 30 человек, они изучают французский и английский языки. Французский изучают 12 человек, английский— 25. Сколько человек изучают оба языка? (ответ 7 человек)

3) Доказать формулу: |A_B| = |A|+|B|+|A_B|, если A и B конечные множества.