Вироджені і невироджені оператори

Нехай - деякий вимірний простір, а – лінійний оператор .

Означення 13. Лінійний оператор простору називається невиродженим, якщо його ранг дорівнює ; оператор називається виродженим, якщо його ранг менший ніж .

Із теореми 15 випливають рівносильні умови невиродженості оператора :

1) область значень оператора збігається з простором ;

2) дефект оператора дорівнює нулю;

3) ядро оператора складається лише з нульового вектора.

Теорема 16. Лінійний оператор простору є невиродженим тоді і тільки тоді, коли його матриця в довільно вибраному базисі простору – неособлива.

Теорема 17. Невироджений лінійний оператор простору взаємно однозначно відображає простір на весь .

Теорема 18. Невироджений лінійний оператор простору будь-яку лінійно незалежну систему векторів цього простору переводить в лінійно незалежну систему.