Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






випадок існування різних власних чисел).






Нехай A - лінійний оператор на векторному просторі V над полем F, dim V= n, у початковому базисі простору оператору A відповідає матриця Ставиться задача знайти жорданів базис оператора A та жорданову матрицю J оператора в цьому базисі. Для визначеності вважаємо, що всі вектори задаються координатами в початковому базисі.

 

1 крок. Складається характеристичний многочлен оператора і знаходяться всі корені цього многочлена. Нехай l1, l2,,lsÎF - це всі попарно різні корені, причому s > 1. Також нехай m1, m2,..., ms - відповідні кратності коренів. Тоді m1+m2+…+ms = n та . Це означає, що в заключній жордановій матриці J існують клітинки лише з параметрами l1, l2,…,ls, кожному власному числу відповідає принаймні одна клітинка, причому сума порядків усіх клітинок, що відповідають даному власному числу lj (1 £ j £ s)дорівнює показнику кратності mj, а тому в жорданові базисі власному числу lj відповідає в точності mj векторів.

 

2 крок.Позначимо многочлени , Оскільки всі корені l1, l2,…,ls є попарно різними, то многочлени є попарно взаємно простими і за теоремою про розщеплення лінійного оператора простір V розпадається в пряму суму підпросторів де L1 =Ker f1(A ) , L2 = Ker f2(A ) ,, Ls =Ker fs(A ).Кожен з підпросторів L1 , L2,, Ls є інваріантним відносно оператора A, причому для кожного номера j (1 £ j £ s)звуження оператора A на підпростір Lj має лише єдине власне число lj. Тому будується жорданів базис Бj підпростору Lj і далі жорданів базис простору Б = { } береться як об’єднання жорданових базисів підпросторів.

3 крок. Будується жорданів базис Бj підпростору Lj (1 £ j £ s). Аналогічно тому, як це виконувалося при існуванні єдиного власного числа, береться послідовність підпросторів = M0Ì M1Ì …Ì Ì та будуються початкові базиси цих підпросторів. Процес завершується, коли dim < mj, dim = mj. В початковому базисі підпростору є принаймні один вектор висоти kj. Далі будуються серії, в кожній серії вектори розташовуються в зворотньому порядку і одержується жорданів базис Бj підпростору Lj.

 

4 крок.Оскільки то за теоремою про базис прямої суми система Б = Б1È Б2ÈÈ Бs утворює базис простору. Кожен підпростір є інваріантним відносно оператора A, а тому у базисі Б оператору A відповідає матриця J клітинного вигляду

 

.

 

Кожна клітинка Jk є матрицею звуження оператора A на інваріантний підпростір Lk в жордановом базисі Бk. Отже, кожна клітинка Jk є жордановою матрицею, а тому вся матриця J є жордановою. Таким чином, базис Б= Б1È Б2ÈÈ Бs є жордановим базисом простору оператора A, а Jє відповідною жордановою матрицею.



 

Задача 1.Лінійний оператор у початковому базисі задається матрицею . Знайти базис , в якому оператор задається жордановою матрицею J та знайти матрицю J

 

Розв’язування. На першому кроці шукаються власні числа матриці A. Для цього складається характеристичний многочлен оператора

 

 

Отже, власне число t1 = 3 є коренем характеристичного многочлена кратності 3, а тому числу t1 =3 в жордановому базисі відповідають 3 вектори та для підпростору L1 = Ker(A - 3E )3 dim L1 = 3. Власне число t2 = -2 є коренем кратності 1, а тому числу t2 = -2 в жордановому базисі відповідає один вектор та для підпростору L2 = Ker(A +2E ) dim L2 = 1.

Знаходиться жорданів базис підпростору L1. Складається матриця B=A-3E .

 

 

Знаходимо початковий базис M1. Цей базис утворює фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь з основною матрицею системи B:

 

 

® ®

 

;

 

;

 

;

-2
-1

 

Отже, початковий базис підпростору утворюють вектори з координатами , . Тому , отже, . Це означає, що далі будується початковий базис доповненням до базису ще одного вектора.

 

 

Береться система лінійних однорідних рівнянь з основною матрицею



 

 

 

 

 

 

Базис утворюють три вектори , , . Отже, . Початковий базис одержується як доповнення початкового базису . Доповнюючим вектором можна взяти будь-який вектор з одержаного базису , такий, що лінійно незалежний з векторами початкового базису , наприклад, . Отже, початковий базис утворюють вектори , , . В цій системі векторів перші два вектори висоти 1, третій – висоти 2. Для цього вектора будується перша серія з двох векторів. Першим є . Другий знаходиться як

 

 

Отже, першу серію складають вектори , . Але , тому вектори серії не утворюють базис . Отже, будується новий базис . З серії береться вектор висоти 1, в даному випадку це . Але , тому з початкового базису береться один доповнюючий вектор, наприклад, Для цього вектора будується друга серія довжини 1, яку утворює лише вектор . В двох серіях 3 вектори, , тому в серіях переставляємо вектори у зворотньому порядку і одержуємо жорданів базис підпростору : , , .

Далі знаходиться жорданів базис підпростору L2 = Ker (A + 2E ). Оскільки , то в жордановому базисі простору власному числу відповідає лише один вектор, а тому у відповідній жордановій матриці одна клітинка порядку 1. Отже, в жордановій матриці цьому вектору відповідає стовпчик, де єдиний ненульовий елемент знаходиться на головній діагоналі і дорівнює -2. Тому цей вектор є власним вектором оператора, що відповідає власному числу . Отже, цим вектором можна взяти будь-який власний вектор. Шукаються власні вектори, які відповідають власному числу . Знаходиться фундаментальна система розв’язків системи лінійних однорідних рівнянь з основною матрицею

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

Четвертим базисним вектором можна взяти . Отже, жорданів базис простору утворюють вектори , , , . Складемо матрицю оператора A в цьому базисі. Враховуємо, що вектори відповідають власному числу , вектор - власному числу . При цьому вектори утворюють серію. Кожен з векторів утворює окрему серію. Одержується така матриця

 


 



mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2020 год. (0.014 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал