Теоретична частина. Критерій порівняння середніх набув значного поширення в практиці розв’язання задач дефектоскопії та неруйнівного контролю

Критерій порівняння середніх набув значного поширення в практиці розв’язання задач дефектоскопії та неруйнівного контролю. Цей критерій був запропонований у 1908 р. англійським статистиком Госсетом, який працював під псевдонімом Стьюдент, тому часто в математичній літературі критерій порівняння середніх називають критерієм Стьюдента.

Даний критерій призначений для порівняння середніх значень вибірок випадкових величин, що мають розподіл, близький до нормального. Критерій Стьюдента широко застосовується на практиці, однак необхідно враховувати обмеження щодо його використання. Для того щоб одержувані на його основі висновки були правдиві, треба, щоб обидві вибірки мали близький до нормального закон розподілу ймовірностей з однією й тією ж дисперсією. Ця обставина накладає істотне обмеження на можливості застосування критерію Стьюдента. Розглянемо дві задачі, найбільш поширені на практиці, для розв’язання яких застосовують критерій Стьюдента.

Задача 1. Вимірюється безпосередньо деякий параметр , значення якого відоме, наприклад довжина або ширина контрольованого виробу, швидкість, тиск та ін. Необхідно проконтролювати параметр за вибіркою вимірювань, тобто перевірити гіпотезу про те, що .

За заданою вибіркою вимірювань обчислимо оцінки параметрів і :

.

Ці оцінки – випадкові величини. Очевидно, що оцінка буде відрізнятися від параметра . Щоб перевірити гіпотезу про те, що математичне сподівання дорівнює , тобто необхідно дослідити різницю Дисперсія невідома, тому розглянемо перетворення вигляду

. (13)

Перетворення – це випадкова величина з законом розподілу ймовірностей Стьюдента. Якщо припущення про є правильне, то

.

Розподіл Стьюдента схожий на нормальний розподіл із нульовим середнім і дисперсією Можна визначити ймовірність того, що має місце нерівність , якщо обчислити інтеграл

, (14)

де – інтеграл імовірності Стьюдента. Із формули (14) визначається величина порога порівняння

, (15)

де – функція, обернена до інтеграла ймовірності Стьюдента з степенями вільності.

Якщо , то з імовірністю виконується нерівність Це дозволяє сформулювати вирішальне правило контролю параметра за вибіркою вимірювань: вимірюваний параметр з імовірністю дійсно дорівнює , якщо виконується нерівність

(16)

Задача 2. За двома вибірками вимірювань одержані оцінки математичних сподівань і й вибіркових дисперсій й :

, ,

.

Необхідно перевірити припущення яке означає, що досліджувані вибірки мають одне й те ж математичне сподівання. Для розв’язання цієї задачі розглянемо перетворення

. (17)

Це перетворення є випадкова величина із законом розподілу Стьюдента з параметром Тому вирішальне правило перевірки умови запишеться у вигляді нерівності

, (18)

де поріг порівняння обчислюється для заданої ймовірності за формулою

. (19)

Якщо нерівність (18) виконується, то з імовірністю має місце підтвердження гіпотези про рівність математичних сподівань оцінок і , у противному разі Причому якщо , то , і якщо , то .

Якщо використовуються нерівноточні вимірники () і дисперсії невідомі, точне розв’язання задачі порівняння середніх є досить складне і в даній лабораторній роботі не розглядається.