Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Пример краевой задачи для уравнения Гельмгольца в двумерном случае. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Рассмотрим основные краевые задачи для уравнения Гельмгольца в двумерном случае. Начнем с задачи Дирихле (рис.3).
где - фактически функция одной переменной, т.к. на и связаны между собой. - ограниченная область, - кусочно-гладкая кривая – граница области, - входные данные. 1) Дискретизация области. Будем строить двумерную сетку. Проводим систему прямых, параллельных и на одинаковом расстоянии друг от друга. Точки пересечения этих линий – узлы сетки. Каждому узлу ставятся в соответствие координаты , т.е. ему соответствуют индексы . Некоторые узлы оказались внутри области, некоторые – вне области, некоторые на границе. Обозначим . Построим дискретную область (рис.4). Для каждого узла определим соседей . Такое определение соседей связано с уравнением. Узел считается принадлежащим дискретной области , если сам он и все его соседи . Отметим узлы, принадлежащие синим цветом. Построим . , если сам узел , то хотя бы один из его соседей (эти узлы красного цвета). Возьмем для примера в виде прямоугольника (рис.5).
Здесь . 2) Дискретизация задачи. В каждом узле области заменяем производные, входящие в (1), разностными отношениями по формулам числового дифференцирования. Обозначим , тогда после замены:
Такая аппроксимация содержит 5 точек. Теперь понятно, почему определялась именно так. В (3) столько уравнений, сколько точек в . В случае прямоугольника можно более конкретно записать: . Все остальные этапы метода конечных разностей аналогичны одномерной задаче.
|