Преобразование отражения. Сведение матрицы к почти треугольному виду

Запишем -матрицу в виде:

,

где , , .

Построим матрицу отражения:

,

где , . Матрица - самосопряженная и ортогональная. Действительно:

;

Построим матрицу

.

В силу свойств матрицы матрица также является самосопряженной и ортогональной.

Рассмотрим:

.

Рассмотрим подробнее элементы матрицы :

, (1)

при этом

Уточним выражение для . Для этого вычислим :

,

тогда

.

Возвращаясь к формуле (1), вычислим

,

поэтому

.

Таким образом, у матрицы нули в первом столбце, начиная с третьего элемента.

Для сохранения подобия необходимо матрицу умножить на справа:

.

Очевидно, первый столбец матрицы остался без изменений.

Далее строится матрица отражения для второго столбца матрицы для получения нулей во втором столбце преобразованной матрицы, начиная с четвертого элемента и т.д. Конечный результат – построение верхней почти треугольной матрицы.

Вопросы

1. На чем принципиально основаны методы решения полной проблемы собственных значений?
2. Основные шаги общей схемы решения полной проблемы собственных значений.
3. Какая матрица называется верхней (нижней) почти треугольной?
4. Какая матрица называется трехдиагональной?
5. Что такое матрица Якоби?
6. Как определяется спектр разложимой матрицы?
7. Что характерно для собственных значений матрицы Якоби?
8. Для чего используется матрица отражения?
9. Свойства матрицы отражения.

.