Решение. 1) Определение напряжения смещения нейтрали.

1) Определение напряжения смещения нейтрали.

Напряжение смещения нейтрали U0 может быть найдено методом узловых потенциалов

0 = ( А Y A + В Y В + С Y С)/(Y А + Y В + Y С + Y 0), (4.4.1)

где А, В, С – фазные напряжения фаз А, В и С;

Y А, Y В, Y С и Y 0 – проводимости фаз А, В, С и нулевого провода.

Все величины должны быть записаны в комплексном виде в алгебраической и показательной формах.

При соединении фаз звездой действующие значения фазных Uф. и линейных Uл. напряжений связаны соотношением

Uф. = Uл./ (4.4.2)

Таким образом,

UА = UВ = UС = 660/ = 380 В.

Комплексы напряжений, сопротивлений и проводимостей в показательной и алгебраической формах:

А = 380 е = (380 + j0) В;

В = 380 е = (-190 – j328) В;

С = 380 е = (-190 + j328) В;

Z А = 8 + j6 = 10 е Ом;

Y А = 1/ Z А = 1/ 10 е = 0, 1 е = (0, 08 – j0, 06) См;

Z В = 6 – j8 = 10 е Ом;

Y В = 1/ Z В = 1/10 е = 0, 1 е = (0, 06 + j0, 08) См;

Z С = 23 + j15, 3 = 27, 6 е Ом;

Y С = 1/ Z С = 1/27, 6 е = 0, 0362 е = (0, 03 – j0, 02) См;

Z 0 = 1 + j0 = 1 Ом;

Y 0 = 1/ Z 0 = 1/1 = 1 См.

Напряжение смещения нейтрали по (4.4.1)

а) при наличии нулевого провода

0 = ( 380 е 0, 1 е + 380 е 0, 1 е + 380 е 0, 0362 е ) /

/( 0, 08 – j0, 06 + 0, 06 + j0, 08 + 0, 03 – j0, 02 + 1) = (38 е + 38 е +

+ 13, 7е ) / 1, 17 = 32, 48 е + 32, 48 е + 11, 75 е = = 26 – j19, 5 +12, 7 – j30 + 0, 752 + j11, 75 = 39, 45 – j37, 75 = 54 е .

б) при обрыве нулевого провода

0= ( 380е 0, 1 е + 380е 0, 1 е + 380е 0, 0362 е ) /

/( 0, 08 – j0, 06 + 0, 06 + j0, 08 + 0, 03 – j0, 02) = (38 е + 38 е +

+ 13, 7 е ) / 0, 17 = 223, 5 е + 223, 5 е + 80, 9 е =

= 178 – j134 + 87 – j205 + 5, 17 + j80, 74 = 270 – j258 = 372е .

2) Определение фазных напряжений нагрузки

Напряжение на каждой фазе нагрузки нагр. является разностью фазного напряжения источника питания и напряжения смещения нейтрали 0

нагр. = - 0 (4.4.3)

Напряжения на фазах нагрузки

а) при наличии нулевого провода

А нагр.= А - 0 = 380 - 39, 45 + j37, 75 = 340, 5 + j37, 75 = 348 е В;

В нагр. = В - 0= -190 – j328 - 39, 45 + j37, 75= -229, 45 - j290, 25=370е В;

С нагр.= С - 0 = -190 + j328 - 39, 45 + j37, 75 = -229, 45 + j365, 75=433 е В.

б) при обрыве нулевого провода

А нагр. = А - 0 = 380 - 270 + j258 = 110 + j258 = 280 е В;

В нагр. = В - 0 = -190 – j328 - 270 + j258 = - 460 – j70 = 464 е В;

С нагр. = С - 0 = -190 + j 328 - 270 + j258 = - 460 + j586 = 745 е В.

3) Определение фазных и линейных токов, тока в нулевом проводе

При соединении звездой фазные и линейные токи равны, т.е. Iф.А = Iл.А;

Iф.В = Iл.В; Iф.С = Iл.С;

Если известны напряжения и проводимости Y участков, токи через них

можно определить по закону Ома

= Y (4.4.4)

а) Фазные и линейные токи при наличии нулевого провода

ф.А = л.А = А нагр. Y А = 348 е 0, 1 е = 34, 8 е =

= (30 – j17, 8) А;

ф.В = л.В = В нагр. Y В = 370 е 0, 1 е = 37 е =

= (9, 35 – j35, 7) А;

ф.С = л.С = С нагр. Y С = 433 е 0, 0362 е = 15, 7 е =

= (0, 45 + j15, 6) А

Ток в нулевом проводе

0 = 0 Y 0 = 54 е 1 = 54 е А.

Этот же ток может быть найден по второму закону Кирхгофа

0 = ф.А + ф.В + ф.С = 30 – j17, 8 + 9, 35 – j35, 7 + 0, 45 + j15, 6 = 39, 8 - j37, 9 = 54 е А.

Совпадение результатов подтверждает правильность выполнения расчетов.

б) Фазные и линейные токи при обрыве нулевого провода

ф.А = л.А = А нагр. Y А = 280 е 0, 1 е = 28 е =

= (24, 2 + j13, 95) А;

ф.В = л.В = В нагр. Y В =464е 0, 1 е = 46, 4 е =

(- 21, 9 – j40, 9) А;

ф.С = л.С = нагр. Y С = 745 е 0, 0362 е = 27 е =

= (- 2, 3 + j26, 95) А

Ток в нулевом проводе

0 = 0 Y 0 = 0, т.к. при обрыве нулевого провода его проводимость равна

нулю.

4а) Определение мощностей

Полные мощности фаз Sф. находятся как произведение комплексов фазных напряжений ф. на сопряженные комплексы фазных токов ф.

S = ф. ф. (4.4.5)

Сопряженный комплекс какой-либо величины – комплекс этой величины, в котором знак мнимой части заменен на противоположный.

Например: для комплекса фазного тока ф.В = 9, 35 – j35, 7 = 37 е его сопряженный комплекс имеет вид: ф.В = 9, 35 + j35, 7 = 37 е А.

Сопряженные комплексы величин принято обозначать звездочками над их буквенными символами.

Полная мощность каждой фазы по (4.4.5)

S А= А ф.А = 348 е 34, 8 е = 11696 е = (9357 + j7017) ВА;

S В= В ф.В = 370 е 37 е = 13690 е = (8214 – j10952) ВА;

S С= С ф.С = 433 е 15, 7 е = 6785 е = (5647 + j3757) ВА.

Полная мощность всей нагрузки

S = S А+ S В+ S С = 9357 + j7017 + 8214 – j10952 + 5647 + j3757 = (23218 – j178)ВА.

Активная и реактивная мощности фаз и всей нагрузки находятся как действительная и мнимая части соответствующих комплексов полных мощностей, т.е.

активная мощность фаз

РА = 9357 Вт;

РВ = 8214 Вт;

РС = 5647 Вт;

активная мощность всей нагрузки

Р = РА + РВ + РС = 9357 + 8214 + 5647 = 23218 Вт;

реактивная мощность фаз

QА = 7017 вар;

QВ = -10952 вар;

QС = 3757 вар;

реактивная мощность всей нагрузки

Q = QА + QВ + QС = 7017 -10952 + 3757 = -178 вар.

Активная мощность каждой фазы может быть также найдена по выражению

Рф. = I ф. Rф., (4.4.6)

где Iф. – действующее значение фазного тока;

Rф. – активное сопротивление фазы.

Тогда

РА = I ф.А Rф.А =(34, 8) 8 = 9357 Вт;

РВ = I ф.В Rф.В = (37) 6 = 8214 Вт;

РС = I ф.С Rф.С = (15, 7) 23 = 5647 Вт.

4б) Определение коэффициентов мощности

Коэффициент мощности сos является отношением действительных частей комплексов полной мощности или полного сопротивления к их модулям

сos = a/А, (4.4.7)

где а – действительная часть комплекса;

А – модуль величины.

Таким образом, коэффициенты мощности фаз, найденные с использованием различных величин, при правильном решении должны совпасть.

Коэффициенты мощности фаз

сos А = РА/SА = 9357/11696 = 0, 8, или сos А = RА/ZА = 8/10 = 0, 8

сos В = РВ/SВ = 8214/13690 = 0, 6, или сos В = RВ/ZВ = 6/10 = 0, 6

сos С = РС/SС = 5647/6785 = 0, 8323, или сos С = RС/ZС = 23/27, 6 = 0, 8333

(Несовпадение значений сos С в третьем знаке вызвано округлением чисел при расчетах).

Средний коэффициент мощности нагрузки находится по мощности всей цепи

сos нагр. ср. = Р/S = 23218 / = 23218/23218, 7 =1, 0

Полученные при расчете данные сведены в таблицу 8.

Таблица 8 - Результаты расчета трехфазной четырехпроводной цепи

Режим работы цепи	Величина	Комплекс величины	Действующее значение
В алгебраической форме	В показательной форме
Нулевой провод исправен	Напряжение смещения нейтрали 0, В	39, 45 – j37, 75	54 е
Фазные напряжения, В	А нагр.	340, 5 + j37, 75	348 е
В нагр.	-229, 45 - j290, 25	370 е
С нагр.	-229, 45+ j365, 75	433 е
Фазные (линейные) токи, А	ф.А = л.А	30 – j17, 8	34, 8 е	34, 8
ф.В = л.В	9, 35 – j35, 7	37 е
ф.В = л.В	9, 35 – j35, 7	37 е

Продолжение таблицы 8

Нулевой провод исправен	Ток в нулевом проводе 0, А	39, 45 – j37, 75	54 е
Полная мощность фаз, ВА	S А	9357 + j7017	11696 е
S В	8214 – j10952	13690 е
S С	5647 + j3757	6785 е
Полная мощность цепи S, ВА	23218 – j178	23178 е
Активная мощность фаз, Вт	РА	-	-
РВ	-	-
РС	-	-
Активная мощность цепи Р, Вт	-	-
Реактивная мощность фаз, вар	QА	-	-
QВ	-	-	-10952
QС	-	-
Реактивная мощность цепи Q, вар	-	-	-178
Коэффициенты мощности фаз	сosА	-	-	0, 8
сosВ	-	-	0, 6
сosС	-	-	0, 8323
Средний коэффициент мощности цепи сos	-	-	1, 0

Продолжение таблицы 8

Нулевой провод оборван	Напряжение смещения нейтрали 0, В	270 – j258	372е
Фазные напряжения, В	А нагр.	110 + j258	280 е
В нагр.	-460 – j70	464 е
С нагр.	-460 + j586	745 е
Фазные (линейные) токи, А	ф.А = л.А	24, 2 + j13, 95	28 е
ф.В = л.В	- 21, 9 – j40.9	46, 4 е	46, 4
ф.С = л.С	- 2, 3 + j26, 95	27 е
Ток в нулевом проводе 0, А