Краткое описание метода касательных при решении нелинейных уравнений

Министерство образования и науки Российской Федерации

федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт ЭНИН

Специальность Теплоэнергетика и теплотехника

Кафедра АТЭС

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Студент

Руководитель

Томск – 2015 г.

Содержание

Введение……………………………………………………………..3

Краткое описание метода решения нелинейных уравнений..….4-5

Текст программы……………………………………………………6

Результаты вычислений, выводы по работе ………………..…….7

Введение:

Тема: Решение нелинейных уравнений.

Цель: Изучение численных методов решения нелинейных уравнений.

Задачи: Освоить метод половинного деления, метод касательных и модифицированный метод Ньютона для решения нелинейного уравнения, научиться численно определить действенный корень нелинейного уравнения, составить алгоритм и соответствующую программу, развить практические навыки решения задач на ЭВМ.

Условие задачи: Определить с точностью ε температуру поверхности Т твердоготела при радиационно-конвективном теплообмене, если известно экспериментально измеренное значение температуры Тэ в точке, расположенной на расстоянии h от поверхности. Для расчета использовать уравнение

q= α (T_c – T) + ε _nσ 0(Т_с – Т 4 ), или

λ (Т – Т_э)/h = α (T – T) + ε п σ 0(Т_с – Т),

где λ – коэффициент теплопроводности материала тела, Вт/м·К; h – глубина закладки датчика (термопары), м; Т_с – температура греющей среды, К; α – коэффициент конвективного теплообмена, Вт/м²·К; ε _n – приведенная степень черноты; σ ₀ = 5.67⋅ 10^-3 Вт/м²К⁴ – постоянная Стефана-Больцмана.

Исходные данные: λ = 8.5; h = 8⋅ 10-3; T_э = 953.5; T_с = 1273; α = 25; ε _n = 0.3; ε = 0.1.

Краткое описание метода касательных при решении нелинейных уравнений

Метод половинного деления основан на поиске отрезка, содержащего корень и последующим уменьшением его размеров до достижения заданной точности вычислений. Уменьшение размеров отрезка осуществляется циклическим делением его пополам и отбрасыванием половинки, не содержащий корня.

Пусть дано уравнение ƒ (x) = 0, где ƒ (x) – непрерывная функция, корень Р отделен на отрезке [ a, b ], т. е. ƒ (a) ⋅ ƒ (b) > 0, причем | b – a | < E. Требуется найти значение корня Р с точностью до Е (см. рис. 1).

Если корень Р не отделен на заданном отрезке, т. е. ƒ (a) и ƒ (b) одного знака и, следовательно, ƒ (a) ⋅ ƒ (b) > 0, то вычисляются значения функции в точках, расположенных через равные интервалы на оси Х. Когда ƒ (a_n) и ƒ (b_n) имеют противоположные знаки, то значения a = a_n и b=b_n принимаются в качестве начальных и находят середину отрезка [ a, b ], т. е. с= (a+b)/2. Тогда отрезок [ a, b ] точкой с разделится на два равных отрезка [ a, c ] и [ c, b ], длина которых равна (b – a)/2. Из двух этих образовавшихся отрезков выбирается тот, на концах которого функция ƒ (x) принимает значения противоположных знаков; обозначим его [ a ₁, b ₁]. Затем отрезок [ a ₁, b ₁] делим пополам и проводим те же действия. Получим отрезок [ a ₂, b ₂], длина которого равна (b – a)/2². Процесс деления отрезка пополам производится до тех пор, когда на каком-то k -м этапе будет получен отрезок [ a_k, b_k ], такой, что

b_k – a_k = (b – a) / 2 ^k ≤ E и a_k ≤ P ≤ bk,

где число k указывает на количество проведенных делений. Числа a_k и b_k – корни уравнения ƒ (x) = 0 с точностью до E. За приближенное значение кор-ня следует взять Р= (a_k+b_k) / 2, причем погрешность не превысит (b – a)/2 _k+ 1.

Рисунок 1 Графическая интерпретация метода половинного деления

Отметим, что в качестве условия прекращения счета более целесообразно пользоваться условием E ≥ ⎜ b_k – a_k⎢.

Рассмотренный метод имеет относительно малую скорость сходимости, но отличается от других методов простотой реализации алгоритма, не требующего вычисления производных заданной функции.

Текст программы:

Program laba1;

uses crt;

Function f(m: real): real;

Begin

f: =m-sin(m)/cos(m);

end;

var a, b, c, k, e, m: real;

begin

write('b='); read(b);

write('k='); read(k);

write('e='); read(e);

a: =b;

b: =a+k;

If f(a)*f(b)< 0 then

c: =(a+b)/2

else begin

a: =b;

b: =a+k;

c: =(a+b)/2;

end;

Repeat

If f(a)*f(c)< 0 then

b: =c

else

a: =c;

c: =(a+b)/2;

until

abs(b-a)< =e;

writeln('x=', (a+b)/2-3.14);

end.

Результат:

При решении задачи методом половинного деления в программе Pascal были получены следующие значения, представленные на рисунках 2, 3:

При π < μ 2 < 2π

Рисунок 2 Результаты вычислений

При 2π < μ 3 < 3π

Рисунок 2 Результаты вычислений

Вывод:

В ходе данной работы был изучен метод половинного деления для нелинейных уравнений, написана программа для данной задачи. Приблизительные значения корней данного уравнения соответствуют действительности.