Дослідження екстремальних властивостей

Задача 5.5.1. У прямокутний трикутник з гострим кутом та прямим кутом вписано правильний трикутник так, що його вершини лежать на різних сторонах даного трикутника. При якій умові сторона правильного трикутника буде найменшою?

Розв’язання. Нехай – правильний трикутник, вписаний у даний трикутник (рис. 26). Вважатимемо . Тоді . Точку можна розглядати, як результат повороту точки навколо точки на кут проти годинникової стрілки. Тоді точку можна одержати внаслідок перетину відрізків та , де - це образ відрізка при повороті на проти годинникової стрілки навколо центра повороту . Оскільки кут , то точка . Очевидно, що – правильний і . Знайдемо висоту у : . Із прямокутного трикутника сторона вписаного трикутника дорівнює . Розглянемо функцію . Вона набуває свого найменшого значення при = .

Отже, якщо , тобто , то вписаний правильний трикутник буде шуканий.

Задача 5.5.2. Всередині трикутника знайти точку , для якої сума квадратів відстаней від неї до сторін трикутника мінімальна.

Розв’язання. Нехай відстані від точки до сторін , будуть відповідно (рис. 27). Тоді

,

де - площа даного трикутника. Сума квадратів відстаней від точки до сторін трикутника буде дорівнювати . В силу нерівності Коші - Буняковського виконується співвідношення

,

причому знак рівності виконується при умові . Одержуємо, що

.

Права частина є сталим числом. Тому ліва частина прийматиме найменше значення, коли виконується знак рівності, тобто при умові . Із цих співвідношень та рівності остаточно дістаємо

.

Задача 5.5.3. Дано дві паралельні прямі та точка між ними. Побудувати прямокутний трикутник з вершиною прямого кута в точці та вершинами на заданих паралельних прямих, площа якого мінімальна.

Розв’язання. Проведемо через точку перпендикуляр до паралельних прямих (рис. 28). Нехай . Трикутники і подібні. Тому або , звідки . Оскільки і , то . Отже, площа буде найменшою, коли найменшою буде сума . Добуток є сталим числом , тому сума буде найменшою при , тобто при . Але якщо , то . Тепер трикутник легко будується.

Задача 5.5.4. Знайти найкоротший відрізок, який ділить рівносторонній трикутник із стороною на дві рівновеликі фігури.

Розв’язання. Нехай трикутник рівносторонній із стороною . Позначимо шуканий відрізок . Нехай , (рис. 29). Тоді площа . Оскільки площа всього трикутника дорівнює , то з умови отримуємо, що або . За теоремою косинусів або . Очевидно, що відрізок буде найменшим, коли найменшим буде значення виразу . Добуток обох доданків є сталим і , тому найменше значення суми буде при , тобто при . При цьому значенні і .