Механічний зміст похідної

Припустимо, що точка М рухається прямолінійно нерівномірно по деякій прямій лінії, яку візьмемо за вісь Ох (рис. 3).

Рис. 3

Рух точки відбувається за законом х = f (t), де х — шлях; t — час. Знайдемо швидкість точки М у даний момент часу t (миттєва швидкість).

Нехай точка М у момент t перебувала на відстані х від початкової точки М ₀, а в момент часу точка опинилася на відстані від початкової точки й зайняла положення М ₁. Отже, час t набув приросту , а шлях х — приросту . Середня швидкість руху точки М за час описується формулою .

Якщо точка М рухається рівномірно, то V _cр є величина стала, і її беруть за швидкість точки. Для нерівномірного руху точки очевидно, що для достатньо близьких значень до нуля середня швидкість точки М буде близька до її швидкості у момент часу t. Тому за точне значення швидкості точки М у момент часу t беруть величину

,

яка є швидкістю зміни функції х = f (t) у точці. У цьому полягає механічний зміст похідної.