Интегрирование уравнений Эйлера

Уравнения равновесия

Умножим уравнения (2.7) соответственно на dx, dy и dz и сложим:

. (2.8)

Выражение в скобках правой части (2.8) - полный дифференциал гидростатического давления dp, следовательно,

ρ (Xdx + Ydy + Zdz) = dp. (2.9)

Уравнение (2.9) - основное дифференциальное уравнение гидростатики.

Проинтегрируем (2.9) для случая, когда жидкость заключена в закрытый сосуд и покоится под действием силы тяжести и внешнего давления p ₀ на свободную поверхность (рис. 2.3).

Горизонтальную плоскость X0Y назовём плоскостью сравнения. Проекции g на координатные оси Х =0, Y =0, Z=-g. Значит

Рис. 2.3

Интегрируем (2.10):

p=-ρ gz+C. (2.11)

При р=р ₀ и z=z ₀ C=p ₀ + ρ gz ₀.

Подставим это выражение в (2.11):

p = -ρ gz + р ₀+ ρ gz ₀, (2.12)

или

p = p ₀ + ρ g (z ₀ - z) = p ₀ + ρ gh. (2.13)

Окончательно

p = p ₀ + ρ gh. (2.14)

Разделив (2.12) на ρ g, получим:

(2.15)

Уравнения (2.14) и (2.15) – два вида основного уравнения гидростатики в интегральной форме.