Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Примеры решения задач. Пример 1. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V=1 мм3 воды, и массу m1 молекулы воды






Пример 1. Определить число N молекул, содержащихся в объеме V=1 мм3 воды, и массу m1 молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d молекул.

Решение. Число n молекул, содержащихся в некоторой массе m, равно произведению числа Авогадро NA на количество вещества n:

N = nNA.

Так как количество вещества

n = m/m,

где m - молярная масса, то

.

Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим

(1)

Подставим в формулу (1) следующие значения величин: r=103 кг/м3; V= 1 мм3=10-9 м3; m=18×10-3 кг/моль; NA=6,02×1023 моль-1 и произведем вычисления:

молекул=3,34×1019 молекул.

Массу m1 одной молекулы можно найти делением молярной массы на число Авогадро:

.

Подставив сюда числовые значения m и N, найдем массу молекулы воды:

кг = 2,99×10-26 кг.

Если молекулы воды, плотно прилегают друг к другу, то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) V1=d3, где d - диаметр молекулы. Отсюда

. (2)

Объем V1 найдем, разделив молярный объем Vm на число молекул в моле, т.е. на число Авогадро NA:

V1 =Vm /NA.

Подставим полученное выражение V1 в формулу (2):

.

Входящий в эту формулу молярный объем определяется выражением Vm =m /r. Тогда искомый диаметр молекулы

(3)

Проверим, дает ли правая часть выражения (3) единицу длины:

м.

Теперь подставим числовые значения физических величин в формулу (3) и произведем вычисления:

м = 3,11×10-10 м = 311 пм.

 

Пример 2. В баллоне объемом V = 10 л находится гелий под давлением р1=1 МПа и при температуре

Т1 = 300 К. После того как из баллона было взято

m=10 г гелия, температура в баллоне понизилась до Т2=290 К. Определить давление р2 гелия, оставшегося в баллоне.

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

, (1)

где m2-масса гелия в баллоне в конечном состоянии; m - молярная масса гелия; R - молярная газовая постоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давление р2:

. (2)

Массу гелия m2 выразим через массу m1, соответствующую начальному состоянию, и массу m гелия, взятого из баллона:

m2 = m1 - m. (3)

Массу гелия m1 найдем также из уравнения Менделеева-Клапейрона, применив его к начальному состоянию:

. (4)

Подставляя в выражение (3) массу m1 из формулы (4), а затем полученное выражение m2 в формулу (2), найдем

,

или после преобразования и сокращения

. (5)

 

Пример 3.Баллон содержит m1=80 кг кислорода и m2=320 г аргона. Давление смеси p=1 МПа, температура Т=300 К. Принимая данные газа за идеальные, определить объем V баллона.



Решение. По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. Парциальным давлением газа называется давление, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

По уравнению Менделеева-Клапейрона, парциальные давления кислорода p1 и аргона р2 выражаются формулами:

; .

Следовательно, по закону Дальтона давление смеси газов

р = р1+р2, или ,

откуда объем баллона

(1)

Выразим в единицах СИ числовые значения величин, входящих в формулу: m1=80 г=0,08 кг, m1=32××10-3 кг/моль, m2=320 г=0,32 кг, m2=40×10-3 кг/моль, р=1 МПа=106 Па, R=8,31 Дж/(моль×К).

Подставим числовые значения в формулу (1) и произведем вычисления:

 

Пример 4. Вычислить удельные теплоемкости сv и cp смеси неона и водорода, если массовая доля неона w2=20 %. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

Решение. Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме cv найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на DТ, выразим двумя способами:

Q=cV(m1+m2)DT, (1)

Q=(cV,1m1+cV,2m2)DT, (2)

где сV,1 - удельная теплоемкость неона; сV,2 - удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на DТ, получим

сV(m1+m2)=cV,1 m1+cV,2 m2,

откуда

, (3)

или

сV = cV,1 w1+cV,2 m2, (4)

где и - массовые доли неона и водорода в смеси.

Подставив в формулу (4) числовые значения величин, найдем:



сV = (6,24×102×0,8+1,04×104×0,2) Дж/(кг×К) =

= 2,58×103 Дж/(кг×К).

Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

ср = ср,1 w1 + cp,2 w2. (5)

Подставим в формулу (5) числовые значения величин:

ср= 1,04×103×0,8+1,46×104×0,2 Дж/(кг×К)=3,75×103 Дж/(кг×К).

Пример 5.Кислород массой m=2 кг занимает объем V1=1 м3 и находится под давлением р1=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления р3=0,5 МПа. Найти изменение DU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

Решение. Изменение внутренней энергии газа выражается формулой

(1)

где i-число степеней свободы молекул газа (для двухатомных молекул кислорода i=5); m-молярная масса.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева :

. (2)

Выпишем заданные величины в единицах СИ: m=2 кг, m=32×10-3 кг/моль, R=8,31 Дж/(моль×К), V1=1 м3, V2=V3=3 м3, р1=р2=0,2 МПа=2×105 Па, р3=0,5 Мпа =

=5×105 Па. Подставляя эти значения в выражение (2) и выполняя арифметические действия, получим:

К = 385 К;

К = 1155 К = 1,16 кК;

К = 2887 К = 2,89 кК.

Подставляя в выражение (1) числовые значения величин, входящих в него, и выполняя арифметические действия, находим

Дж= 3,24×106 Дж =3,24 МДж

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой .

Подставив числовые значения величин, получим

Дж = 0,400×106 Дж.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю, т.е. А2=0. Следовательно, полная работа, совершенная газом, равна

А=А1+А2=0,4×106 Дж.

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии DU и работы А: Q = DU+A, следовательно,

Q=0,4×106 Дж+3,24×106 Дж=3,64×106 Дж=3,64 МДж.

График процесса приведен на рис.1.

 

Пример 6.В цилиндре под поршнем находится водород массой m=0,02 кг при температуре T=300 К. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в n1=5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в n2=5 раз. Найти температуру в конце адиабатического расширения и работу, совершенную газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатический процесс, связаны между собой соотношением

, или ,

где g-отношение теплоемкости газа при постоянном давлении и постоянном объеме (для водорода как двухатомного газа g=1,4):

n1 = V2/V1 = 5.

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры Т2:

.

Подставляя числовые значения заданных величин, находим

.

Так как 50,4=1,91 (находится логарифмированием), то

К= 157 К.

Работа А1 газа при адиабатическом расширении может быть определена по формуле

,

где Cv - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

Подставив числовые значения величин: R=8,31 Дж/(моль×К), i=5 (для водорода как двухатомного газа), m=2×10-3 кг/моль, m=0,02 кг, Т1=300 К, Т2=157 К в правую часть последней формулы и выполняя арифметические действия, получим

Дж=2,98×104 Дж.

Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

, или ,

где n2=V2/V3=5.

Подставляя известные числовые значения величин, входящих в правую часть этого равенства, и выполняя арифметические действия, находим

Дж= = -2,10×104 Дж.

Знак “минус” показывает, что работа совершается над газом внешними силами. График процесса приведен на рис.2

 

Пример 7.Тепловая машина работает по обратимому циклу Карно. Температура нагревателя Т1=500 К. Определить термический к.п.д. h цикла и температуру Т2 охладителя тепловой машины, если за счет каждого килоджоуля теплоты, полученной от нагревателя, машина совершает работу А=350 Дж.

Решение. Термический к.п.д. тепловой машины, называемый также коэффициентом использования теплоты, показывает, какая доля теплоты, полученной от нагревателя, превращается в механическую работу. Термический к.п.д. выражается формулой

,

где Q1 - теплота, полученная от нагревателя; А - работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.

Подставив числовые значения в эту формулу, получим

.

Зная к.п.д. цикла, можно по формуле определить температуру охладителя Т2:

Т2=Т1(1-h).

Подставив в эту формулу полученное значение к.п.д. и температуры Т1 нагревателя, получим

Т2=500(1-0,35) К=325 К.

 

Пример 8.В сосуде объемом V=30 л находится m=100 г кислорода под давлением р=3×105 Па. Определить наиболее вероятное значение кинетической энергии молекул О2.

Решение. Вероятное значение кинетической энергии молекул соответствует максимум кривой распределения Максвелла по кинетическим энергиям

(1)

Задача сводится к нахождению экстремума функции f(E).

Определим первую производную g’(E) и приравняем ее нулю, получим

(2)

Отсюда Ев=kT/2 (3) температуру найдем из уравнения Менделеева-Клайперона

(4)

Подставим (4) в (3) и получим

=16×10-22Дж=

=1,6×10-21 Дж.

 

Пример 9.Определить массу воздуха в цилиндре с основанием DS=1 м2 и высотой h=1 км. Считать, что воздух находится при нормальных условиях.

Решение. Распределение Больцмана для одномерного случая имеет вид

Число молекул dN в слое воздуха толщиной dx на высоте х от поверхности Земли

Проинтегрировав dN(x) по х в пределах от 0 до h, найдем полное число молекул в данном цилиндре

Умножив N на массу одной молекулы, получим искомую массу

,

 



mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2020 год. (0.043 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал