Сложное высказывание

Логическое значение сложного высказывания в современной ло­гике ставится в зависимость (является функцией) от логических значений простых высказываний. Последние рассматриваются в качестве исходных элементов логики высказываний, ее строитель­ных блоков.

Сложные высказывания образуются из простых с помощью ло­гических союзов (операций). Важнейшие из них - отрицание, конъ­юнкция, дизъюнкция (слабая и сильная), импликация, эквива-ленция. Принято называть сложное высказывание именем логиче­ского союза, с помощью которого оно образовано.

Отрицанием высказывания Р называется высказывание, обозна­чаемое выражением Р, которое истинно тогда и только тогда, когда Р ложно. Данное определение можно выразить с помощью табл. 3.2 (таблицы истинности), где «И» обозначает «истинно», а «Л» -

«ложно».

Таблица 3.2

Конъюнкцией высказываний Р и Q называется высказывание, обозначаемое выражением Р л Q, которое истинно тогда и только тогда, когда Р и Q истинны (см. 3-й столбец табл. 3.3). Выражение Р л Q читается «Р и Q».

Таблица 3.3

Дизъюнкцией слабой высказываний Р и Q называется высказы­вание, обозначаемое выражением PvQ, которое истинно, когда хо­тя бы одно из выражений Р и Q истинно (см. 4-й столбец табл. 3.3). Выражение PvQ читается «Р или Q».

Дизъюнкцией сильной высказываний Р и Q называется высказы­вание, обозначаемое выражением P v Q, которое истинно тогда и только тогда, когда только одно из выражений Р и Q истинно (см. 5-й столбец табл. 3.3). Выражение P v Q читается: «Либо Р, либо Q».

Импликацией высказываний Р и Q называется высказывание, обозначаемое выражением Р -» Q, которое ложно тогда и только тогда, когда Р истинно, a Q ложно (см. 6-й столбец табл. 3.3). Выра­жение читается: «Если Р, то Q», «Из Р следует Q» и т. д. При этом Р называется основанием, a Q - следствием импликации.

Эквиваленцией высказываний Р и Q называется высказывание, обозначаемое выражением Р ↔ Q, которое истинно тогда и только тогда, когда логические значения Р и Q совпадают (см. 7-й столбец табл. 3.3). Выражение P↔ Q читается: «Р тогда и только тогда, ко­гда Q», «Р эквивалентно Q».

Названные операции могут применяться для действий как с про­стыми, так и со сложными высказываниями.

Зная логические значения исходных высказываний, можно со­ставить таблицу истинности высказываний более сложной формы. Порядок выполнения операций при этом указывается скобками.