Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Примеры решения задач. Задача 14. Результаты обследования семей по числу членов оказались таким 2; 5; 3; 4; 1; 3; 6; 2; 4; 3; 4; 1; 3; 5; 2; 3; 4; 4; 3






 

Задача 14. Результаты обследования семей по числу членов оказались таким 2; 5; 3; 4; 1; 3; 6; 2; 4; 3; 4; 1; 3; 5; 2; 3; 4; 4; 3. Получить по этим данным вариационный ряд и построить полигон распределения относительных частот.

 

Решение. Проведем ранжирование ряда. Для этого перепишем результаты наблюдений в порядке возрастания вариант:

 

1; 1; 2; 2; 2; 3; 3: 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 6.

 

Определяем частоты различных вариант. Варианта 1 встречается два раза. Следовательно, ее частота равна m 1 = 2. Варианта 2 встречается три раза. Следовательно, ее частота равна m 2 = 3. Аналогично получаем m 3 = 7, m 4 = 5, m 5 = 2, m 6 = 1.

Определяем относительные частоты наблюдавшихся в выборке вариант. Они равны отношению соответствующей частоты варианты к общему числу наблюдений. Имея в виду, что общее число наблюдений (объем выборки) равно n = 20, относительная частота варианты 1 будет равна . Аналогично

, , ,

 

, .

 

Проверяем правильность расчетов. Для этого суммируем относительные частоты

 

= 0, 10 + 0, 15 + 0, 35 + 0, 25 + 0, 10 + 0, 05 = 1, 00.

 

Сумма всех относительных частот равна единице, следовательно, вычисления произведены верно. Результаты вычислений сводим в таблицу 2, которая называется вариационным рядом или рядом распределения.

 

Таблица 2 –Распределение числа членов семьи

Значения варианты хi            
Частота варианты mi            
Относительная частота варианты ω i 0, 10 0, 15 0, 35 0, 25 0, 10 0, 05

Зависимость относительных частот варианты от ее значения изобразим на графике (рис. 4). Концы ординат относительных частот соединяем прямыми линиями. Полученный график называется полигоном распределения относительных частот.

 
 


ω i

 

0, 3

 
 


0, 2

 
 


0, 1

 
 


0 1 2 3 4 5 6 x

 

Рисунок 4 – Полигон распределения относительных частот

 

Задача 15. Известны урожайности в центнерах на один гектар яровой пшеницы в 20 хозяйствах: 13, 9; 12, 4; 13, 1; 6, 3; 11, 8; 11, 6; 10, 5; 10, 4; 10, 6; 11, 3; 15, 1; 11, 7; 11, 3; 10, 2; 11, 0; 10, 7; 8, 2; 9, 6; 10, 2; 15, 1. Получить интервальный ряд распределения и начертить гистограмму.

 

Решение. Записываем исходные данные в виде ранжированного ряда: 6, 3; 8, 2; 9, 6; 10, 2; 10, 2; 10, 4; 10, 5; 10, 6; 10, 7; 11, 0; 11, 3; 11, 3; 11, 6; 11, 7; 11, 8; 12, 4; 13, 1; 13, 9; 15, 1; 15, 1.

Рассматривая этот ряд, видим, что диапазон изменения вариант в выборке составляет 6 – 16.

Весь диапазон изменения вариант в выборке разбиваем на несколько интервалов. Размер интервала выбирается произвольно, но следует иметь в виду, что чем меньше интервал, тем точнее результаты. Принимаем размер интервала равным 2 единицам (∆ xi = 2). Получаем пять интервалов: 6 – 8, 8 – 10, 10 – 12, 12- 14, 14 – 16.

Определяем частоту попадания вариант выборки в каждый интервал. В первый интервал попадает одно значение (6, 3) из ряда, поэтому m 1 = 1. Во второй попадает два значения (8, 2 и 9, 6), поэтому m 2 = 2. Аналогично получаем m 3 = 12, m 4 = 3, m 5 = 2.

Определяем относительные частоты попадания вариант выборки в каждый интервал:

 

, , ,

 

, .

Проверяем правильность расчетов. Для этого суммируем относительные частоты: = 0, 05 + 0, 10 + 0, 60 + 0, 15 + 0, 10 = 1, 00.

Сумма всех относительных частот равна единице, следовательно, вычисления произведены правильно.

Определяем плотность относительных частот вариант как отношение относительной частоты ω i к размеру интервала ∆ xi:

, , ,

, .

 

Результаты вычислений поместим в таблицу 3.

 

Таблица 3 – Интервальный ряд распределения урожайности яровой пшеницы

Интервал значений урожайности ∆ хi 6 - 8 8 - 10 10 - 12 12 - 14 14 - 16
Частота варианты mi          
Относительная частота варианты ω i 0, 05 0, 10 0, 60 0, 15 0, 10
Плотность относительных частот 0, 025 0, 050 0, 300 0, 075 0, 050

 

Выполняем построение графика показывающего зависимость плотности относительных частот от значений вариант.

 

 
 


 

0, 3

 

0, 2

 

0, 1

 
 


0 6 8 10 12 14 16 x

 

Рисунок 5 – Гистограмма распределения плотности относительных частот

 

По горизонтальной оси наносим шкалу возможных значений вариант, по оси ординат – плотность относительных частот. Получаем столбчатую диаграмму, которая называется гистограммой распределения плотности относительных частот.

 

Задача 16. Даны величины 25 единиц выборки: 9; 11; 9; 6; 6; 7; 6; 8; 9; 9; 11; 10; 6; 7; 6; 8; 9; 10; 4; 9; 10; 7; 8; 9; 6. Определить: 1) величину, которую следует принять за среднюю генеральной совокупности; 2) величину, которую следует принять за дисперсию генеральной совокупности; 3) доверительный интервал с границами .

 

Решение. Приближенное значение средней генеральной совокупности равно среднему арифметическому значению выборки

 

.

 

Для оценки дисперсии генеральной совокупности используем формулу

 

.

 

Расчеты по приведенным формулам сведем в таблицу 4.

 

Таблица 4 – Результаты расчетов отклонений

.

№ п/п Результат наблюде- ния x i № п/п Результат наблюде- ния xi
            -1  
            -2  
               
    -2          
    -2          
    -1       -4  
    -2          
               
            -1  
               
               
            -2  
    -2        

 

Среднее квадратическое отклонение выборочной средней найдем по формуле

 

.

1) В качестве средней генеральной совокупности принимаем величину

;

 

2) в качестве дисперсии генеральной совокупности имеем величину

 

;

 

3) доверительный интервал размером ±2 средних квадратических отклонений:

среднее квадратическое отклонение средней выборки

 

,

 

Отсюда, доверительный интервал

 

8 ± 2∙ 0, 366, или 8 ± 0, 732.

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Что такое выборка? Как обеспечивается представительность ее?

2. Объясните, как получается вариационный ряд распределения.

3. Как составляется интервальный ряд и строится гистограмма?

4. Что называется дисперсией генеральной совокупности?

 

Рекомендуемая литература и интернет-ресурс

 

1. Зайцев И.А. Высшая математика: Учеб. для вузов. М. Дрофа. 2005. – 398 с.

2. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. М. «Издательство АСТ». 2001. 656 с.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике М., Айрис пресс. 2011. 608 с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. М. Высшая школа. 2003. – 479 с.

 

5. www.exponenta.ru – образовательный математический сайт.

6. www.mathserfer.com – помощь в решении заданий.

7. www.allmatematika.ru – консультации по математике.


Задания для контрольной работы.

В задачах 1 – 10 даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется найти:

1) периметр треугольника с точностью до 0, 01;

2) уравнение стороны АВ в общем виде и ее угловой коэффициент;

3) координаты точки пересечения медиан;

4) уравнение высоты CD.

Сделать чертеж.

 

1. А (1; 2), В (13; - 7), С (11; 7). 2. А (-3; 1), В (9; - 8), С (7; 6).

 

3. А (-1; 3), В (11; - 6), С (9; 8). 4. А (0; - 1), В (12; -10), С (10; 4).

 

5. А (2; 4), В (14; - 5), С (12; 9). 6. А (3; 0), В (15; - 9), С (13; 5).

 

7. А (-5; 6), В (7; - 3), С (5; 11). 8. А (-8; 5), В (4; - 4), С (2; 10).

 

9. А (-4; -2), В (8; -11), С (6; 3). 10. А (4; 9), В (16; 0), С (11; 7).

 

В задачах 11 – 20 необходимо решить системы линейных уравнений:

 

11. 12.

 

13. 14.

 

15. 16.

 

17. 18.

 

19. 20.

 

В задачах 21 – 30 найти производные указанных функций:

21. а) б) ;

22. а) б) ;

23. а) б) ;

24. а) б) ;

25. а) б) ;

 

26. а) б) ;

 

27. а) б) ;

 

28. а) б) ;

29.а) б) ;

30. а) б) ;

 

В задачах 31 – 40 найти указанные интегралы.

 

31. а) ; б) ;

32. а) ; б) ;

33. а) ; б) ;

34. а) ; б) ;

 

35. а) ; б) ;

 

36. а) ; б) ;

37. а) ; б) ;

 

38. а) ; б) ;

39. а) ; б) ;

30. а) ; б) ;

 

В задачах 41 – 50 требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Сделать чертеж и заштриховать фигуру, площадь которой нужно найти.

41. y = x 2 – 4; x + y + 2 = 0. 42. y = 2 xx 2; xy – 2 = 0.

 

43. y = x 2 – 2 x + 1; 2 xy – 2 = 0. 44. y = 4 xx 2 – 3; y = x – 3.

 

45. y = x 2 – 1; x - y + 1 = 0. 46. y = 4 – x 2; x + y – 2 = 0.

 

47. y = x 2 + 2 x; x + y = 0. 48. y = - x 2 + 4 x – 4; y = x – 4.

 

49. y = x 2 + 4 x + 3; y = 3 x + 5. 50. y = 1 – x 2; xy – 5 = 0.

 

В заданиях 51 – 60 найти общие решения дифференциальных уравнений и частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям

 

51. а) , ; б) , .

 

52. а) , ; б) , .

 

53. а) , ; б) , .

 

54. а) , ; б) , .

 

55.а) , ; б) , .

56. а) , ; б) , .

 

57. а) , ; б) , .

 

58. а) , ; б) , .

 

59. а) , ; б) , .

 

60. а) , ; б) , .

 

В задачах 61-70 идет речь о повторных испытаниях. Для их решения следует применить формулу Бернулли.

 

61. Среди проверенных животноводами 1000 поросят 200 имели среднесуточный привес более 300 г. Найти вероятность того, что среди отобранных на продажу 5 поросят среднесуточный привес более 300 г имели:

1) 2 поросенка;

2) не более двух поросят.

62. Вероятность того, что среднегодовой удой молока от одной коровы составляет не менее 3000 кг, равна 0, 4. Найти вероятность того, что среди выбранных наугад пяти коров:

1) только одна дает молока не менее 3000 кг;

2) хотя бы одна дает молока не менее 3000 кг.

 

63. Всхожесть семян данного сорта 86%. Найти вероятность того, что среди посеянных семи семян взойдут:

1) 5 семян;

2) не менее пяти семян.

 

64. Генеральная совокупность состоит из 800 коров, среди которых 400 голов ярославской породы. Для того чтобы определить среднюю величину признака и изменчивость всей генеральной совокупности, производят повторную выборку в объеме десяти голов. Найти вероятность того, что в повторной выборке:

1) только одна корова ярославской породы;

2) коров ярославской породы не более двух.

 

65. В результате опороса из 1000 случаев было получено 360 поросят от высокопродуктивных маток. Найти вероятность того, что среди взятых наугад трех поросят окажется:

1) все три от высокопродуктивных маток;

2) от высокопродуктивных маток не менее двух поросят.

 

66. Известно, что в данном стаде в среднем только 80% овец дают норму настрига, установленную для породы. Найти вероятность того, что среди взятых наугад четырех овец:

1) норму настрига не даст ни одна;

2) норму настрига дадут не менее трех овец.

 

67. От 1000 коров получили 400 телочек и 600 бычков. Для отправки в другие регионы производят выборки телят. Найти вероятность того, что в выборке из 6 телят:

1) телочек и бычков будет поровну;

2) бычков будет не более двух.

 

68. В хозяйстве из общего стада овец выборочной контрольной стрижке подверглись 100 овец. Было установлено, что настриг шерсти более 4 кг дали 60 овец. Найти вероятность того, что из взятых наугад четырех овец более 4 кг шерсти дали:

1) 3 овцы;

2) не менее трех овец.

 

69. Доля плодов, зараженных болезнью в скрытой форме, составляет 25%. Случайным образом отбирается 6 плодов. Найти вероятность того, что в выборке окажется:

1) ровно 3 зараженных плода;

2) не менее одного зараженного плода.

70. В результате измерения 150 деревьев сосны на лесном участке было установлено, что диаметр более 30см имеют 50 из них. Найти вероятность того, что среди выбранных наугад трех деревьев диаметр более 30см имеют:

1) все три сосны;

2) хотя бы одно дерево

 

В задачах 71-80 по результатам обследования выборки определить:

1) величину, которую следует принять за среднюю генеральной совокупности;

2) величину, которую следует принять за дисперсию генеральной совокупности;

3) доверительный интервал, границы которого удалены на два средних квадратических отклонения ее ().Данные взять из таблицы 1.

 

Таблица 5 – Исходные данные для задач 71-80

 

Номер наблю- дения Данные для задач
                   
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     

 

 

Учебное издание

 

 






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.