Пример. Канал может находиться в трех состояниях

Канал может находиться в трех состояниях. Последовательность состояний является простой цепью Маркова. Какое число переходных вероятностей необходимо знать для задания модели канала? - 9.

Средняя вероятность ошибочного приема двоичного символа в канале с К состояниями определяется по формуле

Р_i – финальные, то есть безусловные вероятности состояний канала в произвольный момент времени i. Финальные вероятности определяются из системы уравнений:

Тогда средняя вероятность ошибки в двоичном символе для такого канала равна P_e=P₁  ₁+P₂  ₂+…+P_k  _k.

Средняя вероятность безошибочного приема двоичного символа равна

Q=1-P_e.

Модели дискретных каналов

Несоответствие принятого элемента сигнала данных передан­ному называется ошибкой.

С. целью аналитического моделирования систем ПДС проведены многочисленные исследования закономерности потоков ошибок и предложен ряд математических моделей дискретных каналов [5]. При этом к моделям источника ошибок предъявляются следующие требования: удобство аналитического моделирования систем ПДС, обеспечивающее достаточное соответствие модели систем и реаль­ным объектам; простота оценки параметров модели в результате измерений.

Модель дискретных каналов может строиться двумя способами, Если при первом способе применяются существующие математическиe модели случайных процессов и экспериментально оценива­ется достаточно большое число их параметров, то при втором используются аппроксимационные способы представления потока ошибок. В случае, когда ошибки в каналах появляются независи­мо с вероятностью р_ош, вероятность появления в n-элементной комбинации t ошибок P(t, n) определяется биномиальным распределением!

р (t, n)=

При этом вероятность приема неискаженной комбинации (t=0),

Р (0, n)= ,

а вероятность появления хотя бы одной ошибки (рис. 1.6)

.

Вероятность появления т и более ошибок

Для большинства каналов данная модель приводит к недопу­стимым погрешностям. В соответствии с моделью Гильберта, учитывающей группирование ошибок, канал может находиться в од­ном из двух состояний — «хорошем», когда ошибки невозможны, и «плохом», когда возникают независимые ошибки с вероятностью . Канал задается матрицей переходных вероятностей

(1.21)

и вероятностью . Вероятность ошибки в канале

p _ош = p ₁₀/(p ₀₁+ p ₁₀).(1.22)

Вероятность возникновения пакета ошибок с данного элемента

p _п ⁼⁼ p ₀₁ p ₁₀/(p ₀₁+ p ₁₀).

Другой распространенной моделью является модель В. Беннета и Ф. Фройлиха, которая задается тремя параметрами:

вероятностью появления пакета р_п, равной отношению чиcла пакетов к общему числу переданных бит; пакеты неза­висимы;;
распределением вероятностей пакетов р_п(l) различной длины l;

вероятностью ошибки в па­кете р_ош._п.

Простейшей моделью, учи­тывающей группирование оши­бок в пакеты, является модель Бергера — Мандельброта.

Обобщением модели Беннета-Фройлиха является модель Попова — Турина, кото­рая предполагает существова­ние в канале независимо воз­никающих цепочек пакетов ошибок. Распределение длин цепочек полагается геометрическим. Внутри цепочек незави­симо появляются пакеты ошибок, длины которых распределены по полигеометрическому закону. Внутри пакетов задается условная вероятность появления ошибок.

Задача 1.20. Определить вероятность Р ( 1, n) ошибочного приема для каналов с независимыми ошибками кодовой последовательности длиной n =9 для р _ош=1•10^-3 и 1•10^-5.

Решение. Вероятность Р ( 1, n) = 1—(1— Р _ош)ⁿ np _ош = 9•10^-3 и 9•10^-5

Задача 1.21. Определить для тех же условий вероятности приема неиска­женной комбинации P(Q, п), а также вероятности появления т=2,..., 5 и более.

Рассмотрим двухпараметрическую модель дискретного канала Л. П. Пуртова [49, 71]. Вероятность появления искажений кодо­вой комбинации длиной п (см. рис. 1.6)

при пр < < 1.

При а 0 имеем случай независимого появления ошибок, а при а 1 — появления групповых ошибок (при а= 1 вероятность ис­кажений комбинации не зависит от n, так как в каждой ошибочной комбинации все элементы приняты с ошибкой). Поэтому а явля­ется показателем группирования. Для реальных каналов а=0, 3...... 0, 7, а р=10^-3... 10^-5. Распределение ошибок суммарной кратности в комбинациях разной длины

.

Задача 1.24. При передаче дискретных сообщений по KB радиотелеграф­ному каналу блоками длиной 127 элементов определить вероятность появления в блоке четырех и более ошибок, если известны р=1, 31•10-² и а=0, 448.

Решение. Вероятность.

Рассмотренные модели источников ошибок не учитывают не­стационарность потока ошибок в каналах {часовые, дневные и не­дельные вариации). Поэтому с точки зрения адекватности модели реальным каналам наиболее перспективной следует считать модель дискретного канала с переменными параметрами [5.35]

Дополнительная литература 2[ 58-66], 6 [73-80].

Контрольные вопросы:

1. Модель канала с памятью

2. Модель канала без памятью

3. Симметричный канал.

4. Модель Маркова.

5. Модель Гильберта.

Лекция №7 (2 час.)