Обработка результатов измерений

I. ПРЯМОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ ВЕЛИЧИНЫ.

Прямые измерения сводятся чаще всего к отсчету по шкале. При­мерами прямых измерений могут служить определение длины штангенцир­кулем или микрометром, взвешивание, отсчет промежутка времени по секундомеру, измерение силы тока амперметром и т.д.

Пусть проводится без систематических ошибок N прямых измерений одной и той же величины (в обычных экспериментах N = 5 ÷ 10). Из-за случайных ошибок в результате измерений получается ряд значений: X₁, Х₂, Х₃,..., Х_N

В качестве наилучшего значения измеряемой величины берется среднее арифметическое

(1)

Надо помнить, что истинное значение X измеряемой величины ни­кому неизвестно. Поэтому можно говорить, что Х_ср = X только с определенной вероятностью. Для оценки этой вероятности определяют ошиб­ки отдельных i -х измерений DX_i = X_i - X_ср (i=1, 2, …, N), а затем среднюю абсолютную ошибку:

(2)

Результат измерений с учетом ошибки записывают так:

X =Х_ср ^± DХ_ср (3)

с указанием скобками размерности измеряемой величины.

Чем меньше средняя абсолютная ошибка, тем меньше интервал, в котором заключено истинное значение измеряемой величины.

Чтобы получить более полное представление о качестве измере­ний, принято находить относительную ошибку результата в процентах:

(4)

Разобьем весь диапазон полученных в результате измерений значений X на равные интервалы по DХ и подсчитаем, сколько раз изме­ренная величина попадает в каждый интервал.

Диаграмма, показывающая, как часто получаются, те или иные значения, называется гистограммой результатов измерений. На рис. 2 приведена гистограмма результатов 40 измерений одной и той же вели­чины. Если число измерений станет очень большим, а ширина интервала DХ очень мала, то получим гладкую кривую плотности распределения f(Х) результа­тов измерений:

F(x)= (5)

Произведение f(Х) dX = показывает долю полного чис­ла отсчетов, при которых из­меряемая величина X попадает в интервал от X до X +DX. Тогда (6)

В реальном эксперименте не получаются значения измеряемой вели­чины, сильно отличающиеся от среднего.

Типичные кривые распределения выглядят примерно так, как это показано на рис. 3, и описываются формулой Гаусса:

, (7)

. (8)

называется среднеквадратичной ошибкой измерений. Она зависит только от точности отдельных изме­рений и не зависит от их числа. Поэтому оценивают также среднеквадратичную ошибку среднего

(9)

которую можно уменьшить, увеличив N, но это значительно увеличивает продолжительность измерений, поэтому лучше уменьшить б_ср, повысив точность измерения и снизив . Таким образом, обработка результатов прямых измерений заключается в определении среднего арифметического измерений (1), средней абсолютной (2), относительной (4) и среднеквадратичной (9) ошибок.

II. МЕТОДИКА ВЫПОЛНЕНИЯ И ОБРАБОТКИ

РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

Практически нет таких экспериментов, в которых окончательная величина измерялась бы непосредственно. Обычно приходится измерить целый ряд первоначальных величин, которые лишь в комбинации дают требуемый результат. При этом ошибка окончательного результата определяется ошибками непосредственно измеренных величин.

Нетрудно получить формулы для определения ошибки результата
косвенных измерений по ошибкам прямых измерений, когда искомую ве­личину находят путем элементарных математических операций (см.
табл. 1). Они справедливы, если ошибки прямых измерений малы по
сравнению с самими величинами (порядка 10 % и меньше). При выводе
этих формул предполагается самое неблагоприятное сочетание знаков
ошибок непосредственно измеряемых величин, т.е. формулы определяют
величину максимально возможной ошибки результата косвенного измере­ния.

В случае, когда расчетная формула содержит такое сочетание действий, которого нет в табл. 1, ошибку следует находить путем последовательного применения формул табл. 1 к каждой математической операции.

Таблица 1

№	Математическая операция	Абсолютная ошибка	Относительная ошибка

Ошибки сложных функциональных зависимостей определяются на ос­нове законов дифференциального исчисления.

Приблизительную величину ошибки косвенных измерений (ошибку
метода измерений) необходимо оценить до вычисления искомой величи­ны, нужно получить формулу для относительной ошибки этой величины. Затем в эту формулу следует подставить вместо ошибок измерения точ­ность приборов, которые предполагается использовать для измерений, а вместо значений непосредственно измеряемых величин - их приблизи­тельные значения.

Предварительная оценка ошибки метода измерений до начала самих измерений помогает экспериментатору подобрать приборы, обеспечиваю­щие необходимую точность окончательного результата, а также выбрать необходимые для получения заданной точности значения измеряемых ве­личин. В некоторых случаях предварительный расчет ошибки может показать, что выбранный метод измерений вообще непригоден.

Рассмотрим один пример, имеющий отношение к следующей работе данного практикума.

На электрифицированной машине Атвуда нужно измерить ускорение свободного падения по формуле

Для относительной ошибки измерения имеем:

В соответствии с конструкцией машины Атвуда Н = Н_макс = 80 см,

DН = 0, 5 см (деления шкалы сантиметровые), тогда

Точность, с которой можно измерить промежуток времени обычным секундомером, составляет 0, 2 с (стрелка се­кундомера движется скачками через каждые 0, 2 секунды). Время сво­бодного падения с высоты 80 см - около 0, 4 с. Следовательно, отно­сительная ошибка измерения времени падения при пользовании ручным секундомером достигает 100 % = 50 %, что совершенно неприемлемо. Поэтому в нашем практикуме для измерения времени падения ис­пользуется электронный секундомер, точность которого 0, 01 секунды.

В этом случае Можно считать, что относительная ошибка определения Н равна удвоенной относительной ошибке определе­ния времени падения, т.е. 5%. Эта ошибка тоже значительна, но при­емлема для учебных целей. Машина же Атвуда преимущественно исполь­зуется не для изучения законов свободного падения, а для изучения закона равномерного и равноускоренного движений, когда время движе­ния значительно больше 0, 4.секунды, а ошибка метода измерений мень­ше 5 %.

III. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ, НЕПОСТОЯННОЙ ПО СВОЕЙ

ПРИРОДЕ

Некоторые величины, которые должны быть измерены, не являются постоянными по своей природе. Так, если речь идет об измерении чис­ла актов радиоактивного распада или числа проходящих через детектор частиц космического излучения за какое-то время, то измеряемая ве­личина является дискретной, а законом ее распределения, как показы­вает опыт, является закон Пуассона

Пусть детектор ядерного излучения облучается потоком космических лучей. Попадание той или иной частицы в детектор является слу­чайным событием. Поэтому в течение равных интервалов времени детек­тор зарегистрирует разное число частиц. Какова вероятность того, что в течение времени t в детектор попадает К частиц?

Эта величина и определяется законом Пуассона

(14)

где n - интенсивность регистрируемых событий, т.е. среднее число
актов регистрации, осуществляющих за единицу времени. Распределение
Пуассона полностью определяемся заданием n. Экспериментальное опре­деление К_ср= nt является, как правило, основной целью большей части измерений, проводимых в ядерной физике.

Если К_ср < 1, то Р_к монотонно убывает с ростом К.

Если К_ср > 1, то Р_к сначала возрастает, достигая максимального значения при К ≈ К_ср, после чего монотонно убывает.

Зависимость Р_к от К при разных изображена графически на рис. 4.

Рис. 4. Распределение Пуассона при различных К_ср.

При всяком значении К_ср возможно появление любого числа K. Однако не все события встречаются одинаково часто. Если К близка к К_ср, то вероятность Р_к велика, в противном случае – мала. Мерой отклонения случайной величины К от ее среднего значения K_cр являются абсолютное отклонение

(11)

и относительное отклонение

(12)