Свойства определенного интеграла.

1)

2)

3)

4)

5) Если функция f (x) интегрируема на отрезках [ a; c ] и [ c; b ], то она интегрируема и на [ a; b ], причем верно равенство:

При любом расположении точек a, b и c на оси Ox.

6) Если f (x) ³ 0 при xÎ [ a; b ], то

7) Если на [ a; b ] f (x) ³ g (x), то

8) Теорема 2 (о среднем значении определенного интеграла).

Если функция f (x) непрерывна на [ a; b ], то на этом отрезке найдется хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство:

Доказательство: Так как f (x) на [ a; b ] непрерывна, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего “ m ” и наибольшего “ M ” значений. Тогда m £ f (x) £ M для любого x Î [ a; b ]. По свойству 7 определенного интеграла можно записать неравенство:

Так как m и M – постоянные числа, то

(*)

Вычислим по определению определенного интеграла

Тогда неравенство (*) можно переписать:

Разделим все части полученного неравенства на (b - a) > 0 (длина отрезка интегрирования):

Так как f (x) непрерывна на [ a; b ], тона принимает все значения, заключенные между наименьшим “ m ” и наибольшим “ M ” значениями. Значит найдется на [ a; b ] хотя бы одна точка c, в которой выполняется равенство: