Студопедия

Главная страница Случайная страница

Разделы сайта

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Обратный ход метода Гаусса






Шаг 1. Из последнего уравнения системы (1.15) находим уr, подставив вместо свободных неизвестных произвольные числа tn-r:

Шаг 2. Подставляем найденный уr в предпоследнее уравнение и находим yr -1:

...

Шаг r. Подставляем найденные уr, …, у 2 в первое уравнение находим у 1:

В результате, получаем решение системы (1.11), в котором базисные переменные выражены через свободные переменные.

Замечание. Из доказательства теоремы Кронекера-Капелли следует, что:

· если rang A = rang = n, то система совместна и имеет единственное решение;

· если rang A = rang < n, то система совместна и имеет бесконечное множество решений;

· если rang A < rang , то система несовместна.

Пример 1.3. Решить систему линейных уравнений:

.

Решение. Приведем расширенную матрицу системы:

к трапециевидной форме. Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, затем умножим элементы первой строки на –3 и прибавим к элементам второй сроки, элементы первой строки умножим на –2 и прибавим к элементам третьей строки, получим:

 

 
 

Полученная матрица не является трапециевидной, так как на главной диагонали есть элемент, равный нулю. Поменяем местами второй и третий столбцы матрицы, затем умножим элементы второй строки на –1 и прибавим к элементам третьей строки, получим:

Матрица имеет трапециевидную форму, причем в полученных матрицах по две ненулевых, строки, т.е. rang A = rang = 2, следовательно, по теореме Кронекера-Капелли система совместна и имеет бесконечное множество решений. Полученной матрице соответствует система уравнений, эквивалентная исходной:

где y 1 = x 1, y 2 = x 3, y 3 = x 2, (второй и третий столбцы в расширенной матрице менялись местами). Пусть у 3 = t, тогдаиз второго уравнения находим у 2 = 2, 5 и, подставляя у 2 в первое уравнение, получим у 1 = –3, 5 – t. Таким образом, решением данной системы уравнений будут : х 1 = –3, 5 – t, х 2 = t, x 3 = 2, 5.






© 2023 :: MyLektsii.ru :: Мои Лекции
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Копирование текстов разрешено только с указанием индексируемой ссылки на источник.