Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Общее уравнение Шредингера. Уравнение Шредингера для стационарных состояний 1 страница






(YСтатистическое толкование волн де Бройля (см. § 216) и соотношение неопределен­ностей Гейзенберга (см. § 215) привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции х,у, z, t),|Yтак как именно она, или, точнее, величина |2, определяет вероятность пребывания частицы в момент времениtв объемеdV,т. е. в области с координатамихиx+dx, уиy+dy, zиz+dz.Taк как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно бытьволновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механикисформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвел­ла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью резуль­татов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредин­гера имеет вид

(217.1)

где ћ=h),p/(2т——оператор ЛапласаDмасса частицы, i— мнимая единица,U (х, у, z, t) —Yпотенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется,(х, у, z, t)— искомая волновая функция частицы.

Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0; см. § 225), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные |Yдолжны быть непрерывны; 3) функция |2должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, кото­рой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномер­ный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х,имеет вид (см. § 154) ,или в комплексной записи .Следовательно, плоская волна деБройля имеет вид

(217.2)

(учтено, что w = E/ћ, k=p/ћ|Y). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только |2, то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

откуда

(217.3)

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсомр (E=p2/(2m))и подставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнение



которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U=0 (мы рассматривали свободную частицу). Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергиейU,то полная энергияЕскладывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения и используя взаимосвязь междуЕ и р(для данного случаяp2/(2m)=E–U), прядем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к кото­рым оно приводит.

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называютуравнением Шредингера, зависящим от времениот времени, иными словами, найти уравнение Шредингера дляY. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимостьстационарных состояний — состояний с фиксированными значениями энергии.Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функцияU=U(x, у, z)не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что

(217.4)

где Е —полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множитель и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функциюy:



(217.5)

Уравнение (217.5) называетсяуравнением Шредингера для стационарныхсостояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергияЕчастицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчис­ленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциямиy. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметраЕ,а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называютсясобствен­ными.Решения же, которые соответствуютсобственнымзначениям энергии, называют­сясобственными функциями.Собственные значенияЕмогут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят онепрерывном, илисплошном,спектре, во втором —о дискретном спектре.

 

Вопрос 34

 

Модель атома Томсона и Резерфорда.

Представление об атомах как неделимых мельчайших частиц вещества возникло в Античные времена( Демокрит, Эпикур, Лукреций) К началу 18 века атомистическая теория приобретает все большую популярность , так как к этому времени в работах А.Лавуазье, М.В Ломоносова и Д.Дальтона была доказана реальность существования атомов. Однако вопрос о внутреннем строении атомов даже не возникал , так как атомы по проежнему считались не делимыми . Большую роль в развитии атомистической модели сыграл Менделеев разработавший в 1869 году Периодическую систему элементов , в которой впервые на научной основе был поставлен вопрос о единой природе атомов . Во второй половине 19 в экспериментально доказано , что эдекторон являеется одной из основных составных частей любого вещества. Эти выводы а также экспериментальные данные привели к тому что в начале 20 века серьездно встанр вопрос о строении атома . Первая попытка создания на основе накопленных экспериментальных даннных о модели атома принадлежит Томсану . Согласно этой модели атом представляет собой непрерывно заряженный положительным зарядом шар радиусом порядка м внутри которого около своих положений равновесия колеблются электроны суммарный заряд электронов равен положительному заряду шара , поэтому атом нейтрален . Через несколько лет было доказано , что представление о непрерывно распределенном внутри атома положительном заряде ошибочно.

В развитии представлений о строении атома велико значение опытов английского физика Резерфорда по рассеянию альфа частиц в веществе. Альфа частицы возникают при радтоактивных превращения , они являются положительно заряженными частицами с зарядом 2е и массой примерно 7300 раз большей массы электрона. Пучки альфа частиц обладают высокой монохроматичностью . на основании своих исследований Резерфорд в 1911г предложил ядерную ( планетарную ) модель атома. Согласно этой модели , вокруг положительного заряда , имеющийся заряд Ze ( Z- порядковый номер элемента в системе Менделеева е – элементарный заряд размер - и массу практически равную массе атома ,в области с линейными размерами порядка м по замкнутым орбитам движутся электроны , образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны , то заряд равен суммарному заряду электронов, т.е вокруг ядра должно превращаться Z электронов . Для простоты предположим, что электрон движется вокруг ядра по круговой орбите радиусом r . При этом кулоноская сила взаимодествия между ядром и электроном сообщает электрону нормальное ускорение. Уравнение описывающее движение электрона в атоме по окружности под действием кулоновской силы = где ε0-электрическая постоянная me-и v-масса и скорость электрона на орбите радиусом r. Уравнение содержит два неизвестных r и v. Следовательно , существует бесчисленное множество значений радиуса и соответсвующих ему значений скорости , удовлетворяющих этому уравнению . Поэтому величины r и v могут меняться непрерывно , т.е может испускаться любая , а не вполне определенная порция энергии. Тогда спектры атомов должны быть сплошными . В действительности же опыт показывает , что атомы имеют линейчатый спектр . Согласно классической электродинамике , ускоренно движущиеся электроны должны излучать электромагнитные волны и вследствие этого непрерывно терять энергию. В результате электроны будут приближаться к ядру и в конце концов упадут на него. Таким образом , атом Резерфорда оказывается неустойчивой системой , что опять –таки противоречит действительности . Попытки построить модель атома в рамках классической физики не привели к успеху модель томсона была опровергнута опытами Резерфорда , ядерная же модель оказалась неустойчивой электодинамически противоречила опытным данным . Преодоление возникших трудностей потребовало создание качественно новой – квантовой теории атома

Линейчатый спектр водорода

Исследование спектров излучения заряженных газов показали каждому газу присущ определенный линейчатый спектр , состоящий из отдельных спиральных линий . Самым изученым являются спектр наиболее простого атома – атома водорода. Швецарский ученный Бальмер подобрал эмпирическую формулу описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра где Rштрих= -постоянная Ридберга . В дальнейшем в спектре атома водорода было обнаружено еще нескольких серий . В ультрафиолетовой области спектра находится серия Лаймана

В инфракрасной области спектра были также обнаружены

Серия Пашена

)

Серия Брэкета

v=R(1/4^2 -1/n^2 ) (n=5,6,7…...)

серия Пфунда

v=R(1/5^2 -1/n^2 ) (n=6,7,8…...)

серия Хемфри

v=R(1/6^2 -1/n^2 ) (n=7,8,9…...)

Все приведенные выше серии в спектре атома водорода могут быть описаны одной формулой называемой обобщенной формулой Бальмера где m имеет в кадой серии постоянное значение m=1,2,3,4,5,6( определяет серию ) n, принемает целочисленные значения начиная с m+1 ( определяет отдельные линии этой серии )

Постулаты Бора

Первая попытка построить качественно новую – квантовую теорию атома была предпринята в 1913 г датским физиком Нильсом Бором . Он поставил перед собой цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров , ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света. В основу своей теории Бор положил два постулата .

1 постулат ( постулат стационарных состояний ) в атоме существуют стационарные состояния в которых он не излучает энергии , эти состояния характеризуются определенными дискретными значениями энергии. Стационарные состояния атома соответстуют стационарные орбиты по которым движутся электроны . Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн . В стационарном состоянии атома электрпон двигаясь по круговой орбите , должен иметь дискретные квантовые значения момента импульса , удовлетворяющие условию

Где me-масса электрона v- скорость

2 постулат ( правило частот ) при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается один фотон с энергией

равной разностьи энергии соответствующих стационарных состояний E_m-соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения . При - происходит излучение при - его поглощение .набор возможных дискретных частот квантовый переходов и определяет линейчатый спектр атома.

Вопрос 36

О. Штерн и В Герлах проводят прямые измерения магнитных моментов и обнаружили в 1922г что узкий пучок атомов водорода заведомо находящийся в s состоянии в неоднородном магнитном поле расщипляется на два пучка . В этом состоянии момент импульса электрона равен нулю . Магнитный момент атома связанный с орбитальным движением электрона , пропорционален механическому моменту , поэтому он равен нулю и магнитное поле не должно оказывать влияние на движение атомов водорода в основном состоянии , т.е расщипления не должно быть . однако в дальнейшем при применении спектральных приборов с большой разрешающей способностью было доказано , что спектральные линии атома водорода обнаруживают тонкую структуру , даже в отсутствии магнитного поля .Для объяснения тонкой структуры спектральных линий ,а также ряда других трудностей в атомной физике Уленбек и Гаудсмит предложили , что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса , не связанным с движение электрона в пространстве спином . Спин электрона –квантовая величина , у нее нет классического аналога , это внутреннее неотъемлемое свойство электрона подобное его массу и заряду. Если электрону приписывается собственный механический момент импульса то ему соответствует собственный магнитный момент Согласно общим выводам квантовой механике , спин квантуется по закону где s- спиновое квантовое число .

Вопрос 35

Уравнением движения микрочастицы в различных силовых полях является волновое уравнение Шредингера.

 

Для стационарных состояний уравнение Шредингера будет таким:

 

, m – масса частицы, h – постоянная Планка, E – полная энергия, U – потенциальная энергия.

 

Уравнение Шредингера является дифференциальным уравнением второго порядка и имеет решение, которое указывает на то, что в атоме водорода полная энергия должна иметь дискретный характер:

 

E1, E2, E3…

 

Эта энергия находится на соответствующих уровнях n =1,2,3,…по формуле:

 

Самый нижний уровень E соответствует минимальной возможной энергии. Этот уровень называют основным, все остальные – возбужденными.

 

По мере роста главного квантового числа n энергетические уровни располагаются теснее, полная энергия уменьшается, и при n =E>0 электрон становится свободным, несвязанным с конкретным ядром, а атом – ионизированным.

 

Полное описание состояния электрона в атоме, помимо энергии, связано с четырьмя характеристиками, которые называются квантовыми числами. К ним относятся: главное квантовое число п, орбитальное квантовое число l, магнитное квантовое число m1, магнитное спиновое квантовое число ms.

 

трона в пространстве, то есть волновая функция в пространстве характеризуется тремя системами. Каждая из них имеет свои квантовые числа: п, l, ml.

 

Каждой микрочастице, в том числе и электрону, также свойственно собственное внутреннее сложное движение. Это движение может характеризоваться четвертым квантовым числом ms. Поговорим об этом подробнее.

 

A. Главное квантовое число п, согласно формуле, определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать значения п = 1, 2, 3…

 

Б. Орбитальное квантовое число /. Из решения уравнения Шредингера следует, что момент импульса электрона (его механический орбитальный момент) квантуется, то есть принимает дискретные значения, определяемые формулой

где Ll – момент импульса электрона на орбите, l – орбитальное квантовое число, которое при заданном п принимает значение i = 0, 1, 2… (n – 1) и определяет момент импульса электрона в атоме.B. Магнитное квантовое число ml.

Из решения уравнения Шредингера следует также, что вектор Ll (момент импульса электрона) ориентируется в пространстве под влиянием внешнего магнитного поля. При этом вектор развернется так, что его проекция на направление внешнего магнитного поля будет

Llz = hml

где ml называется магнитным квантовым числом, которое может принимать значения ml = 0, ±1, ±2,±1, то есть всего (2l + 1) значений.

Учитывая сказанное, можно сделать заключение о том, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях (n – одно и то же, а l и ml– разные).

При движении электрона в атоме электрон заметно проявляет волновые свойства. Поэтому квантовая электроника вообще отказывается от классических представлений об электронных орбитах. Речь идет об определении вероятного места нахождения электрона на орбите, то есть местонахождение электрона может быть представлено условным «облаком». Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему этого «облака». Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного «облака», а квантовое число ml– ориентацию этого «облака» в пространстве.

В 1925 г. американские физики Уленбек и Гаудсмит доказали, что электрон также обладает собственным моментом импульса (спином), хотя мы не считаем электрон сложной микрочастицей. Позднее выяснилось, что спином обладают протоны, нейтроны, фотоны и другие элементарные частицы

Опыты Штерна, Герлаха и других физиков привели к необходимости характеризовать электрон (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степенью свободы. Отсюда для полного описания состояния электрона в атоме необходимо задавать четыре квантовых числа: главное – п, орбитальное – l, магнитное – ml, магнитное спиновое число – ms.

 

В квантовой физике установлено, что так называемая симметрия или асимметрия волновых функций определяется спином частицы. В зависимости от характера симметрии частиц все элементарные частицы и построенные из них атомы и молекулы делятся на два класса. Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются асимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми—Дирака. Эти частицы называются фермионами. Частицы с целочисленным спином, в том числе и с нулевым, такие как фотон (Ls =1) или л-мезон (Ls = 0), описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе– Эйнштейна. Эти частицы называются бозонами. Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, также являются фермионами (суммарный спин – полуцелый), а составленные из четного – бозонами (суммарный спин – целочисленный).

Вопрос 37

Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналогов в классической физике. Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства – массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики (например квантовые числа). Такие частицы называют тождественными.

 

Необходимые свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики – принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы.

 

В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам. Если частицы в какой-то момент времени пронумеровать, то в следующие моменты времени можно проследить за траекторией любой из них. Классические частицы, таким образом, обладают индивидуальностью, поэтому классическая механика систем из одинаковых частиц принципиально не отличается от классической механики систем из различных частиц.

 

В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенности вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей лишь вычислять вероятность нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно говорить лишь о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Следует подчеркнуть, что принцип неразличимости тождественных частиц не является просто следствием вероятной интерпретации волновой функции, а вводится в квантовую механику как новый принцип, как указывалось выше, является фундаментальным.

 

Принимая во внимание физический смысл величины , принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в следующем виде: , (8.1.1)

 

где и – соответственно, совокупность пространственных и силовых координат первой и второй частиц. Из выражения (8.1.1) вытекает, что возможны два случая:

 

 

т.е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной, если меняет – антисимметричной. Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, т.к. физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции.

 

В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем. Это не является доказательством того, что свойства симметрии или антисимметрии – признак данного типа микрочастиц.

 

Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса: частицы с полуцелым спином (например электроны, нейтроны и протоны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми–Дирака; эти частицы называются фермионами. Частицы с нулевым, или целочисленным, спином (например фотоны, мезоны) описываются симметричными функциями (волновыми) и подчиняются статистике Бозе–Эйнштейна; эти частицы называются бозонами.

 

Сложные частицы (например атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин – полуцелый), а из четного – бозонами (суммарный спин – целый).

 

Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обоснована швейцарским физиком В. Паули, что явилось еще одним доказательством того, что спины являются фундаментальной характеристикой микрочастиц.

Взучив свойства элементов, расположенных в ряд по возрастанию значений их атомных масс, великий русский ученый Д.И. Менделеев в 1869 г. вывел закон периодичности:

 

свойства элементов, а потому и свойства образуемых ими простых и сложных тел стоят в периодической зависимости от величины атомных весов элементов.

 

Согласно этому закону изменение свойств химических элементов по мере возрастания их атомных масс имеет периодический характер, т.е. через определенное число элементов (разное для различных периодов) свойства элементов повторяются в той же последовательности, хотя и с некоторыми качественными и количественными различиями. Лишь в трех случаях Менделеев нарушил порядок следования элементов - поставил аргон впереди калия, кобальт впереди никеля, а теллур впереди иода. Этого требовало сходство свойств химических элементов.

 

Графическим отображением периодического закона является таблица элементов Д.И. Менделеева. Каждому элементу в ней отвечает порядковый, номер. В таблице весь ряд элементов разбит на отдельные отрезки, внутри которых начинаются и заканчиваются циклы периодического изменения свойств. Вертикальные отрезки называются группами, а горизонтальные периодами.

 

Первые три периода, содержащие 2, 8 и 8 элементов называются малыми, остальные, содержащие 18, 18 и 32 элемента большими. Большие периоды подразделяются на ряды, малые же периоды совпадают с соответствующими рядами.

 

В каждой группе элементы больших периодов подразделяются на две подгруппы — главную и побочную. К главной подгруппе относятся сходные элементы, включающие элементы малых и больших периодов. К побочной подгруппе относятся сходные элементы, включающие только элементы больших периодов. Максимально возможная валентность элементов в группе равна номеру группы. Хотя некоторые элементы и не проявляют максимальной валентности, например, кислород, фтор, неон, с другой стороны валентность золота - элемента побочной подгруппы I группы может превышать единицу, она достигает трех.

 

Открытие Периодического закона побудило физиков искать его объяснение с позиций теории строения атомов и наоборот Периодический закон стал средством проверки истинности предлагаемых моделей строения атомов.

 

Основываясь на открытии Дж. Томсоном в 1897 г. электрона, английский физик Э. Резерфорд в 1911 г. предположил, что атом состоит из положительно заряженного ядра и вращающихся вокруг него по круговым орбитам электронов. При этом положительный заряд ядра нейтрализуется суммарным отрицательным зарядом электронов, что делает атом в целом электронейтральным. Резерфорд экспериментально доказал, что заряд ядра численно равен порядковому номеру элемента в периодической системе.

 

Только тогда удалось объяснить причину нарушения порядка следования элементов в таблице Менделева (аргон впереди калия, кобальт впереди никеля, а теллур впереди иода). Перечисленные элементы оказались расставлены в соответствии с изменением зарядов их ядер. Таким образом, оказалось, что основной величиной, от которой зависят свойства элемента является заряд ядра. Отсюда следует и современная формулировка периодического закона Менделеева:

 

Свойства химических элементов, а также формы и свойства соедине ний элементов находятся в периодической зависимости от заряда их ядер.

 

Позднее было выяснено, что ядра атомов состоят из элементарных частиц — протонов и нейтронов. Поскольку протон и нейтрон способны превращаться друг в друга, их рассматривают как два различных состояния элементарной ядерной частицы, называемой нуклоном. Число протонов в ядре определяет величину положительного заряда ядра и соответственно порядковый номер Z элемента в периодической системе. Суммарное число протонов и нейтронов, называется массовым числом А, оно примерно равно величине массы ядра. Поэтому число нейтронов (N) в ядре может быть найдено по формуле:



mylektsii.ru - Мои Лекции - 2015-2020 год. (0.025 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал