Аксиомы теории вероятностей. Дискретные пространства элементарных исходов. Классическое определение вероятности

Пусть Ω пространство элементарных исходов, F – множество всех подмножеств Ω. Любому событию A F ставится в соответствие действительное число P(A), называемое вероятностью события A, при этом выполняются аксиомы теории вероятности:

Аксиома 4.1. Вероятность произвольного события неотрицательна, т.е. A F, P(A) 0.

Аксиома 4.2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. P(Ω)=1.

Аксиома 4.3. (счетной аддитивности) Если A₁, A₂, … F и A_i∙ A_j= Ø (i j), то P(A₁+ A₂+…) = P(A₁) + P(A₂) +… или P() = .

Определение 4.4. Бесконечное множество называется счетным, если элементы этого множества можно занумеровать натуральными числами.

Все другие множества называются несчетными (например, множество точек [a, b] ненулевой длины).

Определение 4.5. Пространство элементарных исходов называется дискретным, если оно конечное или счетное, т.е. Ω ={ω ₁, …, ω _n} или Ω ={ω ₁, ω ₂, … }.

Любому элементарному исходу ω _i ставится в соответствие число p(ω _i), так что при этом =1.

Определение 4.6. Вероятностью события A называется число P(A)= .

Пример 4.7. Бросается игральная кость. Найти вероятность выпадения нечетного числа очков.

p(ω _i)= , i =1,.., 6, P(A)= p(ω ₁, ω ₃, ω ₅)= + + = = .

Сформулируем следующие предположения:

1. Пространство элементарных исходов конечно: Ω ={ω ₁, …, ω _n}.

2. Все элементарные исходы равновероятны (равновозможны), т.е. p(ω ₁)= p(ω ₂)=…= p(ω _n).

Поскольку =1, то p(ω _i)= , i =1,.., n.

Рассмотрим некоторое событие A Ω, состоящее из k элементарных исходов, k n, A= { , , …, }.

Вероятность события P(A)= = = .

Определение 4.8. (классическое определение вероятности) Если пространство элементарных исходов конечно, а все элементарные исходы равновероятны, то вероятность события A называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих A, к общему числу всех возможных элементарных исходов P(A)= .

Пример 4.9. Бросается две монеты. Найти вероятность того, что хотя бы на одной выпадет герб.

Ω ={(г, г), (г, р), (р, г), (р, р)}, n= 4.

A= {(г, г), (г, р), (р, г)}, k =3.

Таким образом, P(A)= = .

Пример 4.10. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7?

Ω ={(i, j) | i, j {1,.., 6}}, n= 36,

A= { (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 5), (2, 5), (1, 6)}, k =6,

Таким образом, P(A)= = = .