Показатели асимметрии.

Асимметрия и эксцесс являютсяхарактеристиками формы распределения.

В практике статистического исследования приходится встречаться с различными распределениями. Идеальным (нормальным) распределением является такое, у которого распределение признака в совокупности симметричное, при этом мода и средняя совпадают.

Однако чаще всего встречается асимметрическое распределение. При правосторонней асимметрии, средняя арифметическая больше моды, а при левосторонней, наоборот.

Для оценки степени асимметричности применяют моментный и структурный коэффициент асимметрии.

Моментный коэффициент асимметрии определяется по формуле:

где - центральный момент третьего порядка. Определяется по

формуле:

Структурные показатели асимметрии характеризуют асимметричность только в центральной части распределения, т.е. основной массы единиц.

Наиболее часто применяют структурный коэффициент асимметрии, который определяется по формуле:

Если , асимметрия правосторонняя, если , асимметрия левосторонняя.

Формы распределения признаков в совокупности приведены на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Формы распределения признаков в совокупности

Другим свойством рядов распределения является эксцесс. Под эксцессом понимают островершинность или плосковершиннсоть распределения по сравнению с нормальным распределением, т. е. эксцесс – это отклонение вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.

Эксцесс оценивается с помощью показателя, представлено формулой:

где - центральный момент 4-го порядка, который определяется по

формуле:

Распределение островершинное обладает положительным эксцессом (, а плосковершинное – отрицательным эксцессом

На рис. 5.5 представлено нормальное, островершинное и плосковершинное распределение.

1 – нормальное распределение

2 – островершинное распределение

3 – плосковершинное распределение

Рис. 5.5. Формы распределения вариационного ряда

Пример 2. Для определения средней продолжительности представленных междугородних разговоров проведено выборочное наблюдение, в выборку попало 340 разговоров. Распределение этих разговоров по продолжительности представлено в виде вариационного ряда в таблице 5.1. Определить основные характеристики вариационного ряда. Ряд изобразить графически в виде гистограммы.

Таблица 5.2

Группа телефон-ных разговоров по продол- житель-ности (мин.)	Коли- чество разгово- ров m	Середина интервала x	xm	Накоплен- ные частоты
До 3 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 Более 13					921, 6 352, 8 65, 28 112, 3 419, 8 540, 8 725, 7	212, 33 41, 8 161, 7
Итого						80745, 9

Решение:

1. Определяется средняя продолжительность междугородних разговоров:

2. Рассчитывается мода, при этом модальный интервал 5-7:

Это означает, что большинство разговоров имеет продолжительность 6, 4 мин.

3. Определяется медиана, для этого определяются накопленные частоты.

Сначала находится следующее соотношение:

Сравнивая его с накопленными частотами, можно сказать, медиальный интервал будет равен 5-7 мин.

Медиана равна:

Таким образом, половина разговоров имеет продолжительность до 6, 6 мин., а половина больше.

4. Размах колебаний будет равен:

при этом первый и последний интервал закрываются.

5. Среднее квадратическое отклонение составит:

6. Коэффициент вариации:

В среднем продолжительность каждого разговора отклоняется от среднего значения на 3 мин. или на 44%. Совокупность не однородная, так как 33%, а средняя не типична для данной совокупности.

7. Коэффициент асимметрии:

Так как , это означает, что распределения имеют форму правосторонней асимметрии.

Рассчитывается эксцесс, но сначала определяется момент 4-го порядка:

9. Эксцесс будет равен:

Это означает, что распределение плосковершинное. Графическое изображение ряда представлено на рис. 5.6.

Рис. 5.6. Гистограмма распределения телефонных разговоров по продолжительности