Задачи теории массового обслуживания.

При исследовании операций очень часто приходится сталкиваться с анализом работы своеобразных систем, называемых системами массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, магазины, парикмахерские и т. п.

Каждая СМО состоит из какого-то числа обслуживающих единиц, которые мы будем называть каналами обслуживания. В качестве «каналов» могут фигурировать: линии связи, рабочие точки, приборы, железнодорожные пути, лифты, автомашины и т. д.

Системы массового обслуживания могут быть одноканальными или многоканальными.

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) какого-то потока заявок (или «требований»), поступающих на СМО в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается некоторое (вообще говоря, случайное) время, после чего канал освобождается и готов к принятию следующей заявки. Случайный характер потока заявок приводит к тому, что в какие-то промежутки времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо образуют очередь, либо покидают СМО необслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

Каждая система массового обслуживания, в зависимости от числа каналов и их производительности, а также от характера потока заявок, обладает какой-то пропускной способностью, позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок. Предмет теории массового обслуживания — установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, их производительностью, правилами работы СМО и успешностью (эффективностью) обслуживания.

В качестве характеристик эффективности обслуживания, в зависимости от условий задачи и целей исследования, могут применяться различные величины и функции, например:

— среднее количество заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени;

— средний процент заявок, получающих отказ и покидающих СМО необслуженными;

— Вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию;

— среднее время ожидания в очереди;

— закон распределения времени ожидания;

— среднее количество заявок, находящихся в очереди;

— закон распределения числа заявок в очереди;

— средний доход, приносимый СМО в единицу времени и т. д.

Случайный характер потока заявок, а в общем случае и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания будет происходить какой-то случайный процесс. Чтобы дать рекомендации по рациональной организации этого процесса и предъявить разумные требования к СМО, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, описать его математически. Этим и занимается теория массового обслуживания.

Заметим, что за последние годы область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с «обслуживающими организациями» в буквальном смысле слова. Как своеобразные системы массового обслуживания могут рассматриваться: электронные цифровые вычислительные машины; системы сбора и обработки информации; автоматизированные производственные цехи, поточные линии; транспортные системы; системы противовоздушной обороны и т. п.

Близкими к задачам теории массового обслуживания являются многие задачи, возникающие при анализе надежности технических устройств.

Математический анализ работы СМО очень облегчается, если случайный процесс, протекающий в системе, является марковским. Тогда удается сравнительно просто описать работу СМО с помощью аппарата обыкновенных дифференциальных (в предельном случае — линейных алгебраических) уравнений и выразить в явном виде основные характеристики эффективности обслуживания через параметры СМО и потока заявок.

Мы знаем, что для того, чтобы процесс, протекающий в системе, был марковским, нужно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, были пуассоновскими (потоками без последействия). Для СМО потоки событий — это потоки заявок, потоки «обслуживанию заявок и т. д. Если эти потоки не являются пуассоновскими, математическое описание процессов, происходящих в СМО, становится несравненно более сложным и требует более громоздкого аппарата, доведение которого до явных, аналитических формул удается только в редких, простейших случаях. Однако, все же аппарат «марковской» теории массового обслуживания может пригодиться и в том случае, когда процесс, протекающий в СМО, отличен от марковского с его помощью характеристики эффективности СМО могут быть оценены приближенно. Следует заметить, что чем сложнее СМО, чем больше в ней каналов обслуживания, тем точнее оказываются приближенные формулы, полученные с помощью марковской теории. Следует также заметить, что в ряде случаев для принятия обоснованных решений по управлению работой СМО вовсе и не требуется точного знания всех ее характеристик — зачастую достаточно и приближенного, ориентировочного.

В настоящей главе будут изложены элементы теории массового обслуживания, главным образом в той простейшей форме, которую они приобретают в рамках марковской теории. Для более подробного ознакомления с теорией массового обслуживания в ее современной, развитой форме, читатель может обратиться к специальным монографиям, например, [14], [12], [20].