Записати ф-ли для обчислення ймовірностей попадання випадкової точки в довільну двомірну область D; в прямокутник.

· Імовірність влучення випадквої точки (Х, У) в довільну облась D знаходять: P((X, Y,)єD)=∫ ∫ _df(х, у)dxdy

Р- ймовірність влучення точки;

f(х, у)- щільність розподілу

· Імовірність влучення випадкової точки до прямокутника { x₁ ≤ Х ≤ х_2; у₁ ≤ У≤ у₂}можна знайти за формулою: Р(x₁ < Х < х_2; у₁ < У< у₂)= {F(х₂, у₂)- F(х₁, у₂)}- {F(х₂, у₁)- F(х₁, у₁)}

х, у – координати точки в просторі

F(х, у)-ф-ція розподілу.

36. Дві випадкові величини наз. незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, які ймовірні значення прийняла інша величина. Отже, умовні розподіли незалажних величин дорівнюють їхнім умовним розподілам. Теорема: для того щоб випадкові величини X і Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб функція розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку функцій розподілу складових:

Необхідно: F (x, y) = F₁(x) F₂(y).

Достотньо: нехай F(x, y) = F₁(x) F₂(y). Звідси P(X< x, Y< y) = P(X < x) P (Y< y).

Звідси для того щоб неперервні випадкові величини X і Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб щільність спільного розподілу системи (X, Y) дорівнювала добутку щільностей розподілу складових: f (x, y) = f₁(x)f₂ (y). Достатньо F (x, y) = F₁(x) F₂(y).

37. Функцією розподілу ймовірностей С.В.В. наз. така функція двох змінних F (x, y), що її значення в кожній в.в. точці дорівнює F (x, y) = P(X< x; Y< y)

Функція щільності розподілу наз. другу змішану похідну від функцію розподілу: f (x, y) = ² F (x, y)/ x y.

38. Умовним розподілом складових X при Y= y_j називають сукупність умовних ймовірностей p (x₁| y_j), p (x₂| y_j) … p (x_n| y_j), обчислених при умові, що подія Y=y_j (J має одне і те саме значення при всіх значеннях X) вже настала. Аналогічно і для Y.

Закон розподілу для X:

P (x_i| y_j) = p (x_i, y_j) / p (y_j).

P (yj| x_i) = p (x_i, y_j) / p (x_i).

39. Умовною щільністю (x|y) розподілу складових X при даному значенні Y = y називають відношення щільності спільного розподілу f(x, y) системи (X, Y) до щільності розподілу f₂(y) складової Y:

(x|y) = f(x, y)/ f₂ (y)

Аналогічно визначається умовна щільність складової Y при даному значенні X= x:

(y| x) = f(x, y)/ f₁(x).

40. Математичне сподівання двохвимірної випад­кової величини (X, У)характеризує координати центру розподілувипадкової величини. Ці координати у випадку неперервних величин знаходять за формулами:

M_X = x f(x, y) dx dy; M_Y = y f(x, y) dx d y.

Дисперсії Dх та Dухарактеризують розсіювання випад­кової точки (X, У)вздовж координатних осей Ох та Оу, відповідно. їх знаходять за формулами:

D_X = x² f(x, y) dx dy – m²_X ; D_Y = y² f(x, y) dx dy – m²_Y ;

Для опису двохвимірної випадкової величини крім мате­матичного сподівання, дисперсії та середніх квадратичних відхилень використовують також

інші характеристики, а саме- кореляційний момент(або коваріація)

cov (X, Y) = K_XY = M ((X – m_x) (Y – m_y)).

Для неперервних величин Xта У

K_XY = (x - m_x) (Y – m_y) f (x, y) dx dy.

Коефіцієнт кореляціїy

r _XY = K_{X Y}/ x y

Коефіцієнт кореляції є кількісна характеристика залеж­ності випадкових величин X та У і часто використовується в статистиці.

41. Навести основні властивості кореляційного моменту μ _xy та коефіцієнту кореляції r_xy

Корреляционный момент млужит для х-ки связи между величинами X и Y. КМ равен нулю, если X и Y независимы; следовательно, если КМ не равен нулю, то X и Y – зависимые случайные величины.

Величина коэф. корреляции не зависит от выбора единицы измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэф. корреляции перед корреляционным моментом. КК независимых сл. величин равен нулю (так как μ _xy = 0).

Абсолютная величина кор. момента двух случайных величин X, Y не превышает среднего геометрического их дисперсий:

Абсолютная величина коэф. кореляции не превышает единицы.

Властивості кор.моменту μ _xy:

1) Кор.момент 2 незалежних в.в. Х та Y=0; І навпаки, якщо кор.момент не равен 0, то Х та Y – залежні в.в.

2) Абсолютна величина кор.моменту 2 в.в. Х та Y не перевищує середнього геометричного їх дисперсій: | |< =

Властивості коефіцієнта кореляції:

1) | r_xy| < = 1; 2) Якщо Х та Y незалежні, то r_xy= 0; 3) Якщо між Х та Y є лінійна залежність Y=a*X+b, де a та b – сталі, то | r_xy |=1

Корельованими наз.2 в.в., якщо їх μ _xy відрізняється від 0.

Некорельваними наз. 2 в.в., якщо їх μ _xy =0