Линейность преобразования Фурье

Реферат

на тему
«Свойства Преобразования Фурье»

Содержание:

1. Линейность преобразования Фурье

2. Характеристики Фазы

3. Периодический Характер(природа) ДПФ

4. Сжатие и Расширение(растягивание), методы Мультичастоты

5. Умножение Сигналов (Амплитудная Модуляция)

6. Преобразование Фурье(трансформанта Фурье) дискретное Время

7. Отношение Парсевала

Домены времени и частоты - альтернативные пути представления сигналов. Преобразова-ние Фурье - математические отношения между этими двумя представлениями. Если сиг-нал изменяется в одном домене, это будет также изменено в другом домене, хотя обычно не таким же образом. Например, это показывалось в прошлой главе, что скручивание сиг-налов домена времени приводит к их умноженным частотным спектрам. Другие матема-тические операции, типа сложения, масштабирования и смещения, также имеют операцию соответствия в противоположном домене. Эти отношения называются свойствами преоб-разований Фурье, как математическое изменение в одном домене приводит к математиче-скому изменению в другом домене.

Линейность преобразования Фурье

Преобразование Фурье линейно, то есть обладает свойствами однородности и аддитивности. Рисунок 10-1 обеспечивает пример того, как однородность является свойством преобразо-вания Фурье. Рисунок (a) показывает произвольный сигнал домена времени, с соответст-вующим спектром частот, показанным в (b). Мы назовем эти два сигнала: x [] и X [], соответственно.

Рис. 10-1. Однородность(гомогенность) преобразования Фурье.

Однородность означает, что изменение в амплитуде в одном домене производит идентичное изменение в амплитуде в другом домене.

В математической форме, если x [ ] и X [ ] - пара преобразований Фурье, то k x [ ] и k X [ ] - также пара преобразований Фурье, для любой константы k. Если частотный домен пред-ставлен в прямоугольной системе обозначений, k X [ ] означает, что и вещественная часть и мнимая(несобственная) часть умножена на k. Если частотный домен представлен в по-лярной системе обозначений, k X [ ]означает, что величина - умноженная k, в то время как фаза остается неизменяемой.

Аддитивность преобразования Фурье(трансформанты Фурье)означает, что сложение водном домене соответствует сложению в другом домене. Пример этого показывается на рис. 10-2.

Рис. 10-2. Аддитивность преобразования Фурье.

В этой иллюстрации, (a) и (b) - сигналы в домене времени, называемые x ₁[ ] и x ₂[ ], соответственно. Сложение этих сигналов производит третий сигнал домена времени, называемый x₃[ ], показанный в (c). Каждый из этих трех сигналов имеет спектр частот, состоящий из реальной(вещественной) и мнимой(несобственной) части, показанный в рис. от (d) до (i). Так как два сигнала домена времени складываясь, производят третий сигнал домена времени, два соответствующих спектра складываясь, производят третий спектр. Частотные спектры сложены в прямоугольной системе обозначений, прибавляя вещест-венные части к вещественным частям и мнимые части к мнимым частям. Все волны косинуса складываются (вещественные части) и все волны синуса складываются (мнимые части) без взаимодействия между двумя(попарно).

Если: x ₁[ n ] + x ₂[ n ] = x ₃[ n ], тогда: ReX ₁[ f ] + ReX ₂ [f ] = ReX ₃ [f ] и ImX ₁ [ f ] + ImX ₂ [f ] = ImX ₃[ f ].