Логические действия с суждениями.

1. Виды сложных суждений. Сложное суждение – это суждение, в структуру которого входит два и более субъектов, или два и более предикатов, или два и более субъектов и предикатов, или иначе – два и более простых суждения.

Это значит, что сложное суждение образуется из простых (т.е. сложное суждение содержит два или более суждений) с помощью логических связок, которым отвечают логические операции, которые отражаются символами логических операций, или логическими операторами.

Логическая связка	Логическая операция	Символ логической операции
«и»	конъюнкция (от лат. conjunctio – связь, объединение)	, &
«или»	дизъюнкция (слабая, нестрогая) (от лат disjunctio – разъединение, различение)
«или, или»	сильная (строгая) дизъюнкция
«если, то»	импликация (от лат. implico – тесно связываю)	→
«если и только если, то»	эквиваленция (тождество) (от лат. aequivalens – равноценный)	↔, ≡
неправильно, что А или просто: «не-А»	отрицание	~А, Ā

Основные виды сложных суждений (в соответствии с функциями логических связок) разделяют на безусловные и условные:

Безусловное суждение – это суждение, в котором отсутствует зависимость утверждения или отрицания от любых других обстоятельств. Такое суждение определяется с помощью связок «и», «или», «или, или».

Формула: S есть Р и Р , S есть Р или Р , S есть или Р , или Р .

Среди безусловных суждений выделяют: соединительные и разделительные, разделяющие и множественные:

– соединительное (конъюнктивное) – это суждение, содержащее определенное утверждение или отрицание о принадлежности предмету двух или более признаков, которое образовано в результате операции конъюнкции, т.е. соединенных между собой логической связкой «и».

Формула: «Все (некоторые, данный) S есть Р и Р » («М. В. Ломоносов был ученым и поэтом»). В естественном языке эти суждения могут быть выражены не только, когда (1) связующая связка выражена в сложном предикате (S есть Р и Р ), но и когда (2) связующая связка выражена в сложном субъекте (S и S есть Р), а также когда (3) связующая связка выражена в сложном субъекте и сложном предикате (S и S есть Р и Р ). Конъюнктивной связке присуще качество коммутативности. Это значит, что А В ≡ В А. Также конъюнктивной связке свойственно качество ассоциативности. Это значит, что изменение сочетания конъюнктов в суждении (А В) С на А (В С) не изменяет смысла исходного связующего суждения. Это выражение можно записать без скобок: А В С;

– разделительное (дизъюнктивное) – это суждение, в предикате которого отмечается о принадлежности/непринадлежности предмету двух или более признаков, но не утверждается, что все признаки обязательно принадлежат предмету суждения, которое образовано в результате операции дизъюнкции из простых суждений, соединенных между собой логической связкой «или», «или, или».

Формула: S есть Р или Р , S есть или Р , или Р .

Среди разделительных суждений выделяют исключающе-разделительные и соединительно-разделительные суждения.

– исключающе-разделительное (сильная дизъюнкция) – это суждение, в котором речь идет о принадлежности (или непринадлежности) предмету только одного (но неизвестно, какого именно) из перечисленных признаков.

Формула: S есть или Р , или Р («Он или флегматик, или холерик»);

– соединительно-разделительное (слабая дизъюнкция) – это суждение, в котором речь идет о принадлежности (или непринадлежности) предмету хотя бы одного из перечисленных признаков.

Формула: S есть Р или Р («Он работает или учится»).

Разделительная связка может выражаться не только (1) в сложном предикате (S есть Р или Р ), но и (2) в сложном субъекте (S или S есть Р), а также (3) в сложном субъекте и сложном предикате (S или S есть Р или Р ). Как и конъюнкции, дизъюнкции присуще качество коммутативности: А В ≡ В А. Дизъюнкции свойственно и качество ассоциативности, потому изменения в сочетании членов разделительного суждения (напр., (А В) С на А (В С)) не изменяют содержания суждения. Его также можно записать без скобок А В С. В логике различают полную и неполную дизъюнкции;

– разделяющее – это суждение, в котором отмечается полный перечень видов (вариантов) предмета мысли («Теперь в Южном полушарии лето, зима, осень или весна»);

– множественное – это суждение, в котором отражается общность признаков различных предметов и классов предметов («Все пассажирские пароходы и некоторые самолеты могут плавать и перевозить людей»).

Условное (импликативное) – это суждение, в котором отражается зависимость того или другого явления от любых обстоятельств, образовавшееся в результате операции импликации из простых суждений, соединенных между собой логической связкой «если, то».

Формула: Если S есть Р, то S есть Р .

Импликация состоит из логического основания – « если» и логического следствия – « то» («Если закончится учебный год, то начнутся каникулы»).

По характеру отношения между содержанием следствия и содержанием основания определяют выделяющие и невыделяющие суждения:

– выделяющее – это суждение, в котором то, о чем идет речь в основании, является достаточным и необходимым для существования того, о чем идет речь в следствии, и наоборот, то, о чем идет речь в следствии является достаточным и необходимым для существования того, о чем идет речь в основании.

Формула: «S тогда и только тогда, когда Р» («Студент получит диплом ДонНТУ, если пройдет полный курс обучения в этом университете»);

– невыделяющее – это суждение, в котором утверждается, что существование того, о чем идет речь в основании, является условием достаточным, но не необходимым для существования того, о чем идет речь в следствии, а то, о чем идет речь в следствии, является необходимым, но недостаточным условием существования того, о чем идет речь в основании (т.е. основание здесь является достаточным, но не необходимым для наступления соответствующего следствия) («Если человек посетит библиотеку, то он сможет получить информацию по вопросам, относительно которых там есть книги»).

Эквивалентное – это условное суждение, в котором образующие его простые суждения связаны между собой эквивалентной связкой («если и только если, то»).

Формула: Если А, то В, и если В, то А («Иванов не завершит свою курсовую работу к сроку, если и только если ему не помогут однокурсники»).

Сложные суждения, как и простые, могут быть утвердительными и отрицательными.

Сложные суждения являются утвердительными в том и только в том случае, если все составляющие его простые суждения являются положительными («Наступила ночь и небо зажглось мириадами звезд»).

Сложные суждения являются отрицательными в том и только в том случае, если все составляющие его простые суждения являются отрицательными («Общественное сознание не есть сумма индивидуальных сознаний и не тождественно духовной жизни общества»).

Сложные суждения являются неопределенными, если часть составляющих его простых суждений являются утвердительными, а часть – отрицательными («В рыночной экономике товары не продаются по их стоимости, но продаются по цене производителя»).

Логическая форма сложного суждения – это его запись символическим языком логики, в котором простые суждения заменены переменными а, b.

В логике большое значение имеет истинность сложных суждений. Истинность сложных суждений зависит от истинных значений простых суждений, входящих в состав сложного, и от типа связок.

В сложном суждении простые суждения (или их заменяющие переменные) соединяются логическими связками: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания:

– конъюнктивное, или соединительное суждение – это сложное суждение, в котором простые суждения связаны союзом «и». Конъюнктивная связка (одно рядом и одновременно с другим) обозначается символом «». Формула конъюнктивного суждения: а b: «Т. Г. Шевченко был художником и поэтом».

Простые суждения, выступающие в качестве элементов соединительного суждения, называются конъюнктами. Минимальное число конъюнктов – два, максимальное – неограниченно. В сложном соединительном суждении не все перечисленные конъюнкты могут быть заменены оборотом «и другие» и аналогичными словосочетаниями. Если в конъюнктивном суждении перечислены не все конъюнкты, то оно неполное, или открытое. Если в конъюнктивном суждении перечислены все конъюнкты, то оно полное, или закрытое.

Истинность сложных суждений обусловлена истинностью составляющих их простых суждений. Для определения их истинности в логике используются таблицы истинности. В них фиксируются истинностные характеристики составляющих сложное суждение простых суждений и сложного суждения в целом. В таблице обозначаются: истинность – «1», неистинность – «0».

Таблица истинности конъюнкции

a	b	a b

Таблица отражает структурный закон конъюнкции: сложное соединительное суждение истинно тогда и только тогда, когда все конъюнкты истинны.

Если хотя бы одно из составляющих конъюнкцию простых суждений неистинно, то конъюнктивное суждение в целом неистинно независимо от количества конъюнктов.

В естественном языке конъюнкция (союз «и» – символ «») выражается разделительными союзами «а», «но», «да», предлогами «как, так и», «не только, но и», вводными словами и словосочетаниями «однако», «хотя», «несмотря на», союзными словами «также», «тоже» и др.: «Богословское образование в ряде стран дают также теологические факультеты при некоторых светских учебных заведениях». Логический союз конъюнкции может быть выражен однородными членами предложения, связанными по смыслу без союзов: «Одна часть создаваемой рабочей силой новой стоимости возмещает авансированный переменный капитал, вторая часть образует прибавочную стоимость», где два простых двухместных (бинарных) конъюнкта связаны не употребленным логическим союзом «и»;

– дизъюнктивное, или разъединительное сложное суждение делят на дизъюнкцию нестрогую (слабую) и дизъюнкцию строгую (сильную):

– дизъюнкция нестрогая, или слабая – это сложное суждение, в котором простые суждения связаны союзом «или». Дизъюнктивная связка (одно из двух) обозначается символом «». Формула нестрогого дизъюнктивного суждения – а b: «Л. Н. Толстой был писателем или поэтом».

Простые суждения, выступающие в качестве элементов соединительного суждения, называются дизъюнктами. Минимальное число дизъюнктов – два, максимальное – неограниченно. В сложном соединительном суждении не все перечисленные дизъюнкты могут быть заменены оборотом «и другие» и аналогичными словосочетаниями. Если в дизъюнктивном суждении перечислены не все дизъюнкты, то оно неполное, или открытое. Если в дизъюнктивном суждении перечислены все дизъюнкты, то оно полное, или закрытое.

Таблица истинности нестрогой дизъюнкции

a	b	a b

Таблица отражает структурный закон дизъюнкции: нестрогое разъединительное суждение истинно тогда и только тогда, когда истинным является хотя бы один дизъюнкт истины.

Если все составляющие нестрогую дизъюнкцию простые суждения неистинны, то дизъюнктивное суждение неистинно в целом независимо от количества дизъюнктов.

В естественном языке нестрогая дизъюнкция (союз «или» – символ «») выражается только разделительными союзами «или», «либо». Логический союз дизъюнкции нетождественен применяемым в предложениях разделительным союзам «а», «но», «да», разделительным частицам «то, то», «не то, не то» и др.;

– дизъюнкция строгая, или сильная – это сложное суждение, в котором простые суждения связаны союзом «ил и, или». Дизъюнктивная связка (или одно, или другое) обозначается символом « ». Формула строгого дизъюнктивного суждения – а b: «Он добрался до Австралии или самолетом, или теплоходом». Дизъюнкты строгой, или сильной дизъюнкции называются альтернативами. «Он добрался до Австралии самолетом» и «Он добрался до Австралии теплоходом» – две альтернативы суждения, которые одновременно истинными быть не могут. В сильной дизъюнкции может применяться и союз «или», но только в разделительном смысле, а не в разделительно-соединитель­ном как это в нестрогой дизъюнкции. Строгая и нестрогая дизъюнкции различаются по характеру связи дизъюнктов.

Таблица истинности строгой дизъюнкции

a	b	a b

Таблица отражает структурный закон строгой дизъюнкции: строгое разделительное суждение истинно тогда и только тогда, когда только один из дизъюнктов необходимо истинен.

Если из составляющих строгую дизъюнкцию простых суждений истинны все, или некоторые, или все неистинны, то строгое дизъюнктивное суждение в целом неистинно независимо от количества дизъюнктов.

В естественном языке сильная дизъюнкция (повторяющиеся союзы «или, или» – символ « ») выражается теми же союзами, что и в слабой дизъюнкции;

– импликативное, или условное суждение – это сложное суждение, в котором простые суждения связаны союзом «если, то». Импликативная связка (если есть первое, то обязательно есть и второе) обозначается символом «→». Формула импликативного суждения – а → b: «Если студент-бюджетник учится на «отлично», то он получает повышенную стипендию».

Импликативные суждения отражают пространственно-временные, функциональные, причинно-следственные и другие зависимости предметов.

Простое суждение, в котором отражается условие выраженной в импликативном суждении зависимости предметов или признаков, называется антецедентом (от лат. antecendens – предшествующий), или основанием.

Простое суждение, в котором отражается обусловленное явление выраженной в импликативном суждении зависимости, называется консеквентом (от лат. cjnsequens – последующий), или следствием.

Грамматически антецедент может быть расположен до и после консеквента.

Таблица истинности импликации

Таблица отражает структурный закон импликации: условное суждение неистинно тогда и только тогда, когда антецедент (первая часть импликации) истинен, а консеквент (вторая часть импликации) неистинен; во всех других случаях импликация истинна.

В естественном языке импликация (союз «если, то» – символ «→») выражается: «потому, что», «так как», «следовательно», «исходя из того, что», «постольку, поскольку» и др. Грамматическое выражение импликативного союза может отсутствовать, заменяться знаком «тире»;

– суждение эквиваленции, или тождества – это сложное суждение, в котором простые суждения связаны союзом «если и только если, то». Эквивалентная связка (первое есть только в том случае, если есть второе) обозначается символом «≡», либо символом «↔». Формула суждения эквиваленции – а ≡ b, либо а ↔ b: «Только при условии, если закончится учебный год, то начнутся каникулы».

Таблица истинности эквиваленции

Таблица отражает структурный закон эквиваленции: суждение тождества истинно, только если все составляющие его простые суждения истинны, либо неистинны одновременно.

Если простые суждения, составляющие эквиваленцию, противоположны по истинностной характеристике, то суждение тождества в целом неистинно.

В естественном языке эквиваленция (союз «если и только если, то» – символ «≡», либо «↔») выражается: «тогда и только тогда, когда», «тот и только тот», «в том и только в том случае, если», «только исходя из того, что», «только при одном условии, согласно которому» и др.;

– отрицание превращает истинное суждение в неистинное, а неистинное – в истинное. Отрицание соединяет простые суждения с помощью одно местной унарной связки «не» (читается как «неправильно, что»: «Меркурий не является большой планетой» являет собой отрицание суждения «Меркурий является большой планетой»).

При отрицании простых категорических суждений их качество и количество изменяется на противоположное:

~A = О ~О = А ~Е = І ~І = Е

~ (A B) равносильно ~A ~B;

~ (A B) равносильно ~A ~В; َ

~ (A → B) равносильно A ~В; َ

~ (A = B) равносильно (~A B) (A ~B) ;

~ (A B) равносильно A = B.

Сравнимые сложные суждения – это суждения, которые состоят из одних и тех же (тождественных) простых суждений, но различаются логическими союзами: «Студент хорошо учится и получает знание» (a b) и «Если студент хорошо учится, то он получает знание» (a → b).

Несравнимые сложные суждения – это суждения, в которых хотя бы одно простое суждение не совпадает: «Он является студентом и спортсменом» (a Ù b) и «Он является студентом и поэтом» (a с).

Сравнимые суждения могут быть совместимыми и несовместимыми:

– совместимые – это суждения, которые при одинаковых наборах значений простых суждений могут быть одновременно истинными;

– несовместимые – это суждения, которые при одинаковых наборах значений простых суждений не могут быть одновременно истинными.

Виды отношений между совместимыми суждениями:

– эквивалентности – это суждения, где при одинаковых наборах значений их переменных они приобретают одни и те же значения: «А. С. Пушкин – поэт и писатель» и «А. С. Пушкин – писатель и поэт».

Сложные суждения тождественны лишь в том случае, если они имеют одинаковые истинностные характеристики при одинаковых истинностных характеристиках составляющих их простых суждениях.