Частные производные и градиент

В дальнейшем будем рассматривать только функции двух переменных и трех переменных . Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Зададим приращение первой координате точки и рассмотрим разность значений функции в точках и . Приращение функции

называют частным приращением по переменной функции в точке

Определение. Предел отношения частного приращения функции (если он существует) к соответствующему приращению аргумента , при , называется частной производной функции в точке по аргументу и обозначается одним из следующих символов:

.

Таким образом, по определению получаем

.

Аналогично определяются частные производные по переменным x, y, z:

;

.

У функции двух переменных существует две частных производных:

и .

Если функция имеет в заданной точке частные производные по все переменным, то она называется дифференцируемой в этой точке.

Отметим, что частная производная функции или по переменной представляет собой обыкновенную производную по переменной при фиксированных значениях остальных переменных.

Вычисления частных производных выполняются по обычным правилам, определенным для функции одной переменной, т.к. формально определения частной производной и производной функции одной переменной не отличаются, а, следовательно, остаются справедливыми все свойства производной, а также вся таблица производных.

Примеры.

1) Найти частные производные функции .

Решение. .

2)Найти частные производные функции .

Решение. ,

.

Определение. Градиентом дифференцируемой в точке функции называется вектор

или

.

В пространстве т.е. на координатной плоскости Oxy, градиент функции u=f(x, y) имеет вид:

grad f .

Свойства градиента:

1. Вектор указывает направление наибольшего возрастания функции в данной точке и имеет модуль, равный скорости этого возрастания.

2. Вектор в каждой точке ортогонален линиям уровня поверхности u=f(x, y), т.е. линиям f(x, y) = const.

Пример. Найти в точке , если .

Решение. Найдем частные производные и в точке .

; .

Частные производные второго порядка. Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки все частные производные первого порядка , , . Эти частные производные сами являются функциями переменных x, y, z. Тогда они также могут иметь свои частные производные, например

,

которые называют частными производными второго порядка или вторыми частными производными.

В отличие от функций одной переменной, для функций нескольких переменных частных производных второго порядка больше, чем одна. Например, для функции двух переменных существует четыре частных производных второго порядка:

.

Частные производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смешанными производными. Смешанные производные обладают следующим свойством: если функция дважды дифференцируема в точке , то её смешанные производные в этой точке равны.

Аналогичным образом для функций нескольких переменных определяются частные производные более высоких порядков.

Примеры. 1) Найти все частные производные второго порядка для функции .

Решение. ,

,

,

.

2) Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка:

.

Затем, вычисляя частные производные от частных производных первого порядка, получаем производные второго порядка данной функции:

,

.

Заметим, что вторые производные по разным переменным (они называются смешанными) равны между собой.