Иерархическая организация критериев. Оригинальный метод Саати

Если количество учитываемых частных критериев велико, то целесообразно организовать критерии в иерархию, на верхних уровнях которой размещаются группы критериев, а на последнем уровне – собственно критерии. Такая организация позволяет более тщательно оценить весовые коэффициенты критериев.

Основные идеи оригинального метода Саати таковы.

1. Строится иерархия частных критериев: 1) на нулевом уровне размещается название всей иерархической системы, например, «Критерии для выбора автомобиля»; 2) на последующих уровнях – с первого по ( -1)-й уровни размещаются группы критериев; 3) на -м уровне размещаются собственно критерии; 4) на маргинальном – -м уровне размещаются сопоставляемые варианты; в нашем примере сопоставляемыми вариантами являются конкретные автомобили, из которых ЛПР выбирает наиболее подходящий вариант. При этом все критерии не имеют значений – это просто лингвистические метки, имеющие некоторую семантику качественного признака без деления этого признака на какие-либо уровни.

2. На каждом уровне иерархии происходит сравнение элементов этого уровня друг с другом. Причём сравнение выполняется несколько раз: столько, сколько элементов содержится на предыдущем уровне. Каждое сравнение осуществляется «с позиции» одного из элементов предыдущего уровня, который выступает в роли критерия, по которому попарно сравниваются элементы текущего уровня.

3. Все группы критериев, собственно критерии и варианты сравниваются друг с другом по шкале 1..9 по схеме «каждый с каждым», результаты сравнения представляются в виде матрицы парных сравнений. По каждой матрице парных сравнений формируется вектор весовых коэффициентов. Для большей научности метода Саати рекомендует вычислять весовые коэффициенты как собственный вектор матрицы парных сравнений, соответствующий наибольшему собственному числу этой матрицы. Особой проблемы вычисления этого собственного вектора нет, но и особой нужды в его вычислении тоже нет: если нормализовать элементы столбцов матрицы парных сравнений их суммами, а затем усреднить результаты, получаемые в каждой строке, то результат будет весьма близок к собственному вектору Саати.

4. Итак, по каждой матрице парных сравнений получен отдельный вектор весовых коэффициентов – по количеству учитываемых критериев. Их можно разместить в виде столбцов последовательно друг за другом и получить целую матрицу весовых коэффициентов. Как же по этой совокупности матриц, составленных из векторов весовых коэффициентов можно получить единственный вектор весовых коэффициентов, ранжирующих сопоставляемые варианты? Для этого нужно вычислить произведение матриц, синтезированных из векторов весовых коэффициентов, полученных на каждом уровне иерархии:

= ´ ´ ¼ ´ ´ =

= ´ ´ ¼ ´ ´ = (1)

где = – матрица -го уровня, – составленная из столбцов весовых коэффициентов, вычисленных для элементов этого уровня с позиции каждого из элементов предыдущего уровня; – количество уровней иерархии, на которых размещаются группы критериев (эти уровни имеют номера 0.. ); – количество учитываемых частных критериев – число элементов критериального уровня иерархии с номером ; (заметим, что количество учитываемых частных критериев имеет и более простое обозначение , поэтому ); – количество сопоставляемых вариантов – число элементом вариантного уровня иерархии с номером . Поскольку в (1) обозначает количество элементов -го уровня иерархии, то имеет место равенство: .

Рассматривая формулу для вычисления вектора , следует чётко осознавать следующее. Матрица -го уровня () имеет столько строк, сколько элементов содержится на этом -м уровне и столько столбцов, сколько элементов содержится на предыдущем -м уровне; вследствие этого произведение любой пары матриц формулы (1) вычисляемо, и результатом вычисления является новая матрица число строк которой равно числу строк левой из пары перемножаемых матриц, а число столбцов – числу столбцов правой из пары перемножаемых матриц. Результатом перемножения всех матриц (1) является вектор (одностолбцовая матрица), содержащий весовые коэффициентов сопоставляемых вариантов.